1.2集合与常用逻辑用语

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1、1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且pq，则p是q的必要不充分条件；(5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分又不必要条件．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－

2、3<0”是命题．(　×　)(2)命题“α＝，则tanα＝1”的否命题是“若α＝，则tanα≠1”．(　×　)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(　√　)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　)(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　√　)(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(　√　)1．(2015·山东)若m∈R,命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m

3、＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案　D解析　原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)A．0B．2C．3D．4答案　B解析　向量a，b共线⇔x－x(x＋2)＝0⇔x＝0或x＝－1，∴命题p为真，其逆命题为假，故在命题p的原命题、

4、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.3．(2015·重庆)“x＞1”是“”的(　　)A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　x＞1⇒x＋2＞3⇒，⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“”成立的充分不必要条件．因此选B.4．若a，b为实数，则“0；当a>0，b<0时，由b<得到ab<0，因此

5、“0

6、都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则

7、z1

8、＝

9、z2

10、”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假答案　(1)C　(2)B解析　(1)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．(2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则

11、z2＝a－bi，则

12、z1

13、＝

14、z2

15、＝，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足

16、z1

17、＝

18、z2

19、，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B.思维升华　(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断

20、不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．　(1)命题“若α＝，则cosα＝”的逆命题是(　　)A．若α＝，则cosα≠B．若α≠，则cosα≠C．若cosα＝，则α＝D．若cosα≠，则α≠(2)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　　)A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b