数量积及答案.docx

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1、向量答案1．已知O为ABC的外心，其外接圆半径为1，且BOBABC.若ABC60，则的最大值为__________．2【答案】3【解析】以O为原点建立平面直角坐标系，如图∵B60∴AOC12013设A1,0,C(,），Bx,y,则2213BA1x,y,BCx,y,BOx,y22∵BOBABC1121xxxx2

2、1∴{，解得{33yyy22y1∵B在圆上，代入22132122221即，3212210433222解得或2（舍去）故最大值为，故填.3332．在ABC中,已知AB·AC9,sinBcosAsinC,S6,P为线段AB上ABC试卷第1页，总11页CACB的点,且CPxy

3、,则xy的最大值为________.CACB【答案】3222bca2221【解析】由sinBcosAsinC得bcabcSab62bc22所以由AB·AC9得AC9,b3,a4CACBxyxyxy由CPxy,得1,1,12xy3，即xy的最CACBba3434大值为3.3．如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则OP⋅OQ

4、的取值范围为____．【答案】2−1，1.【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出OP⋅OQ的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,π设P(cosα,sinα)(0≤α≤)，Q(x0,y0)，2x0+cosαy0+sinα所以PQ的中点(,)，22sinα−y0kPQ==1由题得cosα−x0,∴x=

5、1−sinαy=1−cosαx0+cosαy0+sinα00+−1=022所以OP⋅OQ=cosα(1−sinα)+sinα(1−cosα)=sinα+cosα−2sinαcosαπ设t=sinα+cosα=2sin(α+),t∈[1,2]，4t2−1所以sinαcosα=，2所以OP⋅OQ=1−t2+t，t∈[1,2]所以当t=1时函数取最大值1，当t=2时函数取最小值2−1.故答案为：2−1，1点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出

6、点P,Q的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数OP⋅OQ的值域.（2）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力.344．在边长为1的正三角形ABC中，AD=xAB，AE=yAC，x0,0且+=1，xy试卷第2页，总11页则CD⋅BE的最小值等于__________．11【答案】+262【解析】分析：通过建立直

7、角坐标系，利用数量积运算性质，在利用不等式的性质，即可求解.311详解：如图所示，则A(0,),B(−,0),C(,0)，22213131故AC=(,−),AB=(−,−)，则AC⋅AB=,AB⋅AB=AC⋅AC=1，22222所以CD⋅BE=(AD−AC)⋅(AE−AB)=(xAB−AC)⋅(yAC−AB)1134=xyAB⋅AC−xAB⋅A

8、B−yAC⋅AC+AB⋅AC=xy−x−y+1=xy(+)−x−y+22xy11113414x3y11=(3y+4x)−x−y+1=x+y+=(x+y)(+)+=2+3+++2222xy2y2x2114x3y11≥+2⋅=+26，当且仅当x=3+6,y=26+4时取等号，2y2x211所以CD⋅BE的最小值为+26.2