平面向量的数量积及应用(含答案).docx

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1、平面向量的数量积及应用［基础知识］1.向量数量积的定义：(1)两个向量的夹角：已知两个非零向量a、b,OA=a、OB=b,则—称作向量a和向量b的夹角，记彳乍〈a,b〉，并规定其范围是当〈a,b>=时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作.(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影

2、b

3、cos。的乘积.⑶向量数量积的定义：.,一一一一一2(4)向重数重积的性质：①如果e是单位向重，则ae=ea=;②a^b?;③aa=

4、a

5、或

6、a

7、=;④cos〈a,b>=;⑤

8、ab

9、

10、a

11、

12、b

13、.2.向量藏量积的运算律——(1)交换律ab=;(2)分配律(a+b)c=(3)数

14、乘向量结合律入(ab)=.3.向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a=(ai,a2),b=(bi,b2),则ab=;(2)设a=(ai,a2),b=(bnb2),则a,b?;(3)设向量a=(a1，a2),b=(b1，b2),则

15、a

16、=,cos〈a,b>=.(4)若A(x1,y1),B(x2,y2)则AB=%_、,_y〔)，=&〔一X2)2+(y1一yS4.向量的应用(1)向量在平面几何中的应用平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由表现出来，用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，

17、用向量表示问题中涉及的几何元素，将_；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.(2)向量在解析几何中的应用设直线l的倾斜角为a,斜率为k,向量a=(a1，a2)且平行于直线1,则a称为直线l的,可以根据向量的知识得到向量(1,k)与向量a共线，因此(1,k)也是直线1的方向向量.(3)向量在物理中的应用向量在力的分解与合成中的应用.由于力是向量，它的分解与合成与向量的相类似，可以用向量来解决.［基础练习］1.(2009全国I,6)设a、b、c是单位向量，且ab=0,则(a-c)(b—c)的最小值为()A.-2B.^2-2C.-1D

18、.1-也2.若向量a=(2,1),b=(3,x),若(2a—b)，b,则x的值为()A.3B.—1或3C.-1D.—3或13.若非零向量a、b满足

19、a—b

20、=

21、b

22、,则()A.

23、2b

24、>

25、a-2b

26、B.

27、2b

28、v

29、a—2b

30、C.

31、2a

32、>

33、2a-b

34、D.

35、2a

36、<

37、2a-b

38、TTTTTT4.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2=16,

39、AB+AC

40、=

41、AB—AC

42、,则

43、AM

44、=()A.8B.4C.2D.15.设a=(4,3),a在b上的投影为平，b在x轴上的投影为2,且

45、b

46、W14,则b为()22A.(2,14)B.(2,-7)C.(-2,-)D.(2,8)［典型例题

47、］题型一平面向量数量积的运算例1(1)已知

48、a

49、=2,

50、b

51、=5,若:①a//b;②a^b;③a与b的夹角为30°,分别求ab.(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，AC=(1,2),BD=(-3,2),则ADAC=.日近A/?练1(1)(2010广东卷，文)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a—b)c=30,则x=()A.6B.5C.4D.3(2)已知a

52、=4,

53、b

54、=3,(2a-3b)(2a+b)=61.①求a与b的夹角0;②求

55、a+b

56、；③若AB=a,BC=b,求△ABC的面积.题型二向量的夹角、模、垂直问题【例2】(2009宁夏、海南卷)

57、已知点O,N,P在△ABC所在平面内，且

58、OA

59、=

60、O)B

61、=

62、OC

63、,NA+NB+INC=0,PApb=PbpC=PCPa,则点o,n,p依次是^abc是()A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心练2在4OAB中,A.OA=a,OB=b,OD是AB边上的高，若好=漏，则实数入等于(C.aT^

64、a-bI例3若a=(cos&sina),b=(cos3,sin四且

65、ka+b

66、=夜

67、a—kb

68、,k>0,kCR(1)试用k表示ab;(2)求实数k的取值范围；(3)求ab的最大值、最小值，并求出取得最值时a与b的夹角。的大小.，一—一，一，一一一一

69、一一_兀兀——练3.已知向重a=(sin0,1),b=(1,cos0),一2〈伉2.(1)若a,b,求0;(2)求

70、a+b

71、的最大值.题型三平面向量的应用例4已知^OEQ的面积为S且OFfQ=1.(1)若2

72、=c(c>2),S=3c,若以。为中心，F为焦点的椭圆经过点Q,当

73、OQ

74、取得最小值时，求此椭圆万程.OW练4如右图，在水平杆子AB上用两根垂直的绳子吊10kg的物体W,ZACW=150°,/BCW=