2021_2022版高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用素养评价检测含解析新人教A版必修5.doc

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1、基本不等式的应用(20分钟　35分)1.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(　　)A.60件B.80件C.100件D.120件【解析】选B.设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=+≥2=20.当且仅当=(x>0),即x=80时“=”成立.2.若xy是正数,则+的最小值是(　　)A.3B.C.4D.【解析】选C.+=x2+y2+++=+++≥1+1+2=4.当且仅当x=y=或x=y

2、=-时取等号.3.已知m>0,n>0,+=1,若不等式m+n≥-x2+2x+a对已知的m,n及任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)A.[8,+∞)B.[3,+∞)C.(-∞,3]D.(-∞,8]【解析】选D.因为m+n=(m+n)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即m=3,n=6时等号成立,所以-x2+2x+a≤9,即a≤x2-2x+9=(x-1)2+8,所以a≤8.4.已知x>0,y>0,且+=1,则3x+4y的最小值是　　　　. 【解析】因为x>0,y>0,+=1,所以3x+4y=(3x+4y)=13++≥13+3×2

3、=25(当且仅当x=2y=5时取等号),所以(3x+4y)min=25.答案:255.若a,b均为正实数,且满足a+2b=1,则的最小值为　　　　. 【解析】a+2b=1,则===+,则(a+2b)=4+3++≥7+2=7+4,当且仅当=,即a=b时取等号.答案:4+76.共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析,每辆单车的营运累计收入f(x)(单位:元)与营运天数x(x∈N*)满足f(x)=-x2+60x-800.(1)要使营运累计收入高于800元,求营运天数的取值范围;(2)每辆单车

4、营运多少天时,才能使每天的平均营运收入最大?【解析】(1)要使营运累计收入高于800元,则f(x)>800⇒-x2+60x-800>800⇒(x-40)(x-80)<0⇒40

5、,x=(　　)A.B.+1C.1D.-1【解析】选B.因为x,y∈(0,+∞),xy=2x+y,所以+=1,则x+y=(x+y)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=时取等号,又xy=2x+y,解得x=+1.2.用一段长为8cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为(　　)A.9cm2B.16cm2C.4cm2D.5cm2【解析】选C.设矩形模型的长和宽分别为x,y,则x>0,y>0,由题意可得2(x+y)=8,所以x+y=4,所以矩形的面积S=xy≤==4,当且仅当x=y=2时取等号,所以当矩形的长和宽都为2cm时,面积最大

6、,为4cm2.3.若正实数x,y满足x+y=1,则+的最小值为(　　)A.B.C.D.【解析】选D.因为x>0,y>0,x+y=1,所以x+1+y=2,+=·=≥×(5+2)=,当且仅当x=,y=时取等号.【补偿训练】　　已知lga+lgb=lg2,+的最大值是(　　)A.2　　　　B.2　　　　C.　　　　D.【解析】选D.因为lga+lgb=lg2,所以lg(ab)=lg2,所以正数a,b满足ab=2,所以b=,所以+=+=+==≤=.当且仅当a=,即a=时取等号.4.函数y=的最小值为(　　)A.2B.C.1D.不存在【解析】

7、选B.y==+,因为≥2,而≤,所以不能用基本不等式求最小值,用函数的单调性求最值,函数y=x+在(1,+∞)上是增函数,所以在[2,+∞)上也是增函数.所以当=2即x=0时,ymin=.5.函数y=loga(x+4)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则+的最小值为(　　)A.8B.6C.12D.10【解析】选C.设A点坐标为(x,y),依题意x+4=1,即x=-3,所以y=-1,即A点坐标为(-3,-1),又知道A点在直线mx+ny+1=0上,所以-3m-n+1=0,即3

8、m+n=1,所以+=(3m+n)=6++≥6+2=12,当且仅当m=,n=时,等号成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2dm,左右空白各宽