2021_2022版高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式素养评价检测含解析新人教A版必修5.doc

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1、基本不等式(20分钟　35分)1.下列不等式中正确的是(　　)A.≥B.a2+b2≥4abC.≥　D.x2+<2【解析】选C.A中,a<0,b<0时不成立,故A错误.取a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错误.≥,所以≥,故C正确.x2+≥2=2,当x=±时等号成立.2.若a,b∈R,且a+b=0,则2a+2b的最小值是(　　)A.2B.3C.4D.5【解析】选A.因为2a>0,2b>0,所以2a+2b≥2=2=2,当且仅当a=b=0时,等号成立.所以2a+2b的最小值是2.3.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为(　　)A.

2、16B.25C.9D.36【解析】选B.(1+x)(1+y)≤===25,因此当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,(1+x)(1+y)取最大值25.4.若lga+lgb=0,则+的最小值是　　　　. 【解析】依题意lga+lgb=0,所以a>0,b>0,且lg(ab)=0,即ab=1,所以+≥2==2.当且仅当=,即a=,b=时,取得等号.答案:25.若00,故=·≤·=,当且仅当x=时上式等号成立.所以0<≤.答案:【补偿训练】　　已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最

3、小值,则a=　　　　. 【解析】f(x)=4x+≥2=4(x>0,a>0),当且仅当4x=,即x=时等号成立,此时f(x)取得最小值4.又x=3时,f(x)min=4,所以=3,即a=36.答案:366.已知x>0,y>0,且2x+y=4.(1)求xy的最大值及相应的x,y的值;(2)求9x+3y的最小值及相应的x,y的值.【解析】(1)4=2x+y≥2⇒xy≤2,所以xy的最大值为2,当且仅当2x=y=2,即x=1,y=2时取“=”;(2)9x+3y=32x+3y≥2=18,所以9x+3y的最小值为18,当且仅当9x=3y,即2x=y=2⇒x=1,y=2时取“

4、=”.【补偿训练】已知x>0,y>0.(1)若2x+5y=20,求u=lgx+lgy的最大值;(2)若lgx+lgy=2,求5x+2y的最小值.【解析】(1)因为x>0,y>0,由基本不等式得2x+5y≥2=2·.又因为2x+5y=20,所以20≥2·,所以≤,所以xy≤10,当且仅当2x=5y时,等号成立.由解得所以当x=5,y=2时,xy有最大值10.所以u=lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1.所以当x=5,y=2时umax=1.(2)由已知,得x·y=100,5x+2y≥2=2=20.当且仅当5x=2y=,即当x=2,y=5时,等号成立.所以5x+

5、2y的最小值为20.(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在下列各函数中,能利用基本不等式求得最小值等于2的是(　　)A.y=x+B.y=sinx+C.y=ex+-2D.y=【解析】选C.选项A,当x<0时,y=x+≤-2,故错误;选项B,由于00,所以x=×2x≤×=,当且仅当2x=,即x=时等号成立.3.已知正数m,n

6、满足m2+n2=100,则m+n(　　)A.有最大值10B.有最小值10C.有最大值10D.有最小值10【解析】选A.≥,即≤50,又m>0,n>0,所以≤5,即m+n≤10.4.已知x,y>0,x+y=1,若4xy1.因此,实数t的取值范围为(1,+∞).5.设M=,N=()x+y,P=(x,y>0,且x≠y),则M,N,P大小关系为(　　)A.M

7、0,≤a恒成立,则a的取值范围是　　　　. 【解析】因为x>0,所以x+≥2,当且仅当x=1时取等号,所以有=≤=,即的最大值为,故a≥.答案:7.设x,y,z

8、∈(0,+∞),满足2x