例说不等式中恒成立问题的求解思路.doc

《例说不等式中恒成立问题的求解思路.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、例说不等式中恒成立问题的求解思路湖北通城县第一中学沈振华不等式中恒成立问题是各类考试中的常见题型，其解法灵活。那么，如何求解呢？下面通过例题加以说明。一、分离参数，转化为求函数的最值例1设f(x)是定义在(-∞，3]上的减函数，已知f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对于x∈R恒成立，求实数a的取值范围。分析：应在定义域和增减性的条件下去掉函数符号f，使a从f中解脱出来。解：原不等式等价于a+1+cos2x≤a2-sinx≤3对x∈R恒成立，即a2≤3+sinx,①a2-a≥1+cos2x+sinx②对x∈R恒成立。令t(x

2、)=3+sinx,则①对x∈R恒成立a2≤[t(x)]min=2.③令s(x)=1+cos2x+sinx=-(sinx-)2+，则②对x∈R恒成立a2-a≥[s(x)]max=.④由③、④，可得所求实数a的取值范围是［-］。点拔：用这种方法求恒成立不等式中的变量取值范围问题可分三步：第一步先分离参数，第二步求分离后有关函数的最值，第三步解关于参数的不等式。二、构造函数，借助函数的单调性例2已知f(t)=log2t,t∈[,8],若对f(t)值域内的所有实数m，不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立，求x的取值范围。解：因t∈[,8],

3、故f(t)∈[,3],从而m∈[,3]。原问题转化为m(x-2)+(x-2)2>0,m∈[,3]时恒成立，显然x≠32,令g(m)=m(x-2)+(x-2)2,为m的一次函数，则应当g(m)在m∈[,3]上恒正，故g()>0,即　(x-2)+(x-2)2>0,解得x>2或x<-1g(3)>0,　3(x-2)+(x-2)2>0∴x的取值范围是(-∞，-1)∪(2，+∞)。点拔：根据已知条件转化为以参数为变元的不等式，构造一次函数，利用一次函数的单调性求解。例3：设f(x)是R上的奇函数，且对任意的实数a、b，当a+b≠0时，都有[f(a

4、)+f(b)](a+b)>0.如果不等式f()>f()对一切n∈N*恒成立，求m的取值范围。分析：要求m的范围，需根据已知条件确定f(x)的单调性，再去掉函数符号f.解：不妨设a>b，则a+(-b)>0。由［f(a)+f(-b)］[a+(-b)]>0,得f(a)+f(-b)>0.又f(x)是奇函数，故f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b)，所以f(x)是R上的增函数。原问题等价于>对一切n∈N*恒成立，也即>-。设g(n)=-，则g(n)-g(n-1)=-<0，g(n)在n∈N*3上是减函数，故g(n)的最大值是g(1)=-。所

5、以原问题又等价于log22m->-,即log22m->0.故log2m<或log2m>2.∴04,即为所求。三、数形结合，利用图形的直观性例4已知x、y满足x2+y2-2y=0,欲使不等式x+y+c≥0恒成立，求c的取值范围。解：由x+y+c≥0,则-c≤x+y,即-c小于或等于x+y的最小值，于是问题转化为在圆x2+y2-2y=0上求一点，使x+y有最小值。由图可知：当直线l平行于直线x+y=0且与圆x2+y2-2y=0相切于下方时，x+y取最小值，易求得这个最小值为1-，故-c≤1-,即c≥-1,c的取值范围是［-1，

6、+∞)。3