例谈一类不等式恒成立问题的求解策略

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1、例谈一类不等式恒成立问题的求解策略例谈--类不等式恒成立问题的求解策略湖南省黄爱民周向东在教学中，常常会碰到一类形如“若X在某区间P内，求使f(x)>0恒成立的参数ni的取值范围。”的问题。対此类问题，学生常常会无从下手。举例说明此类问题的解题策略。一、参数分离法pass例1、对于满足0WPW4的实数P,不等式x2+px>4x+p-3恒成立，试求x的取值范围。分析：受定势思维的影响，错误理解成解关于x的不等式。其实，我们可以把p看作自变量，原题可以转化为关于P的不等式：(x-l)p+x2-4x+3>0在0WPW4时恒成立。

2、即可用函数的观点和知识去理解和处理。解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,当xT=O即时x=l显然不合条件;当x1时,则f(p)是关于P的一次函数，在pe[O,4]上，存在最大值和最小值，使原命题恒成立的条件是x10x10或x3分离参数法；f(0)0f(4)0评析：对一些含参数但可以独立分离的不等式或方程，我们町以考虑把参数转化到方程或不等式的一边，求另一边的范围，反客为主，变换主元，借以求得参数的取值范围。二、三角换元法pass例2：点P(x,y)为圆x2+(yT)2=l上任意一点，欲使不等式x+y+mNO恒成立

3、，求m的取值范围。分析：因为参数m可以独立分离，故原命题可以转化为求使—(x+y)恒成立的参数m的取值范围。即求一(x+y)的最大值。解：设x=cos0,y=l+sin0,0丘［0,2只］,则:x+y=cos0+sin0+1=2,fsin(0+由sin(0+44)+1,)w［T,1］可知:x+y=2〃sin(()+4)+1w［-2+1,2+1］则-(x+y)e［-2-1,2-1］,即niM-(x+y)怛成立，即m^2-l0评析：本题通过三角换元，成功地将冃标函数化为一元函数问题得以解决。三、最值法例3：已知当xW［0,1］

4、时,不等式x2〃cos0-x(l-x)+(l-x)211sin0>0恒成立，试求0的取值范围。分析咽为x丘［0,1］时,x2"cos9-x(l-x)+(l-x)2〃sin9>0恒成立，则对于g(x)=x2“cos0-x(1-x)+(l.-x)2“sin0>0,g(0)=sin0>0g(l)=cos0>0：.2kn<0<2kn+,(keZ)^xe(0,1)时,可把原不等式变2形为：x2〃cos0+(1-x)2〃sin0>x(1-x)即cos1XXsin2sincosxlxcosxlx+1xcossin>1,(sin0>0,c

5、os0>0)而sin即x=sinsinsincos,当R仅当二1XX时，+512xlXcos+1,即sin20>1XXsin取得最小值2sincos12<0f(x)恒成立,且f(x)max存在,则m>f(x)max；若m

6、a1)a23对大于1的一切自然数n恒成立，试确定参数a的取值范围。解：设f(n)12n171212n,Vf(n+l)-f(n)0,・・・f(n)是关于n的增函数。又n>2.f(n)12n2In11121(2n1)(2n2)(al)aNf⑵二712・・・f(n)(a1)alog対大于1的一切口然数n恒成立，必须冇112log23-log(a1)a1,而a>l,・・・a-l<・・・l

7、数形结合法例5、已知对于一切x,yGR,不等式x281x2xy18x2y2a0恒成立，求实数a的取值范围。解：x281x22xy218x81x22y2a0ax18x2281x22xy18x耍使原不等式恒成立a(x2xy2y}min,又2929222x2xyy[()2()xx=(xy)(22y2y]29x29x22y)2,考虑到点M(x,22),N(y,-2y)则点M在曲线Cl：xy二9上，点N在曲线C2：x2+y2二2(yW0)上。显然

8、MN

9、min=32足条件的a的取值范围为(222,此时a6.故满评析：对一些不等式两边

10、的式子，函数模型较明显、函数图象较容易作出的，可以考虑作出函数图彖，用函数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立的问题，也非常容易得到意想不到的效呆。学数学用专页第2页共2页教数学用华软