例谈高考含参不等式恒成立问题的求解策略

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1、例谈高考含参不等式恒成立问题的求解策略［摘要］含参不等式的恒成立问题是学生难以理解和掌握的一个难点，是高考常见的题型.教师要引导学生掌握求不等式恒成立中参数范围的常见策略与方法，根据不同的条件，选择恰当的方法，确定不等式恒成立中的参数范提高学生的解题能力.［关键词］高考含参不等式恒成立［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］16746058(2016)170058导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，多以解答题的形式出现，难度较大，属中、高档题，含参不等式的恒成立问题就是其中一种考查方式.含参不等式

2、的恒成立问题因其覆盖的知识点多，方法也多种多样，考生普遍存在的问题是：入手易、深入难；会而不对、会而不全.但我们认真研究一下这类问题，还是“有法可依”的.本文结合例子给出解决此类问题的几种策略.【题目】(贵州2015适应性试题)设函数f(x)=ax-sinx,xE［0，n］.(I)当a=12时，求f(x)的单调区间；(II)若不等式f(x)^1-cosx恒成立，求实数a的取值范答案:I)增区间[0，JI4],减区间[JI4(II)有如下几种策略解决.策略一：部分分离变量利用数形结合解决恒成立问题，对不等式经过移项等变形，

3、可将不等式化为两边是熟悉的函数的形式，特别是可化为一边为一次函数，另一边是超越函数的不等式问题.对于这类问题，我们常常用数形结合法，先构造函数，再作出其对应的函数的图像，结合图像找出其满足的条件，通过解不等式，求出参数的范E解：原不等式等价于ax-Ksinx-cosx恒成立.设g(x2sin(x-4),h(x)=a.x_l，原不等式等价于g(x(x)在xG[0，：n]上恒成立.作出g(x)的简图，如所示，端点A(:ft,1)，B(0,_1)，求导得g'(x)=2cos(x-n4)，则g'(0)=1.函数g(x)在点B(0

4、，-1)处的切线方程为y=x_l.该切线在图中与g(x)还有另一个交点，而直线AB的方程为y=2Jrx-1,要使原不等式恒成立，只需a彡2jt，故实数a的取值范围是(-°°,2jt].点评：如果一些不等式两边的式子函数模型较明显、较容易画出函数图像，可以考虑画出函数图像，用函数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立问题.这样可得到意想不到的效果.策略二：彻鹿分离参数，将不等式问题转化成函数最值问题.比如，含参数m的不等式恒成立问题可变为f(m)(x)或f(m)(x)在给定区间D上恒成立问题，最终可转化为求函数在给定区间D上

5、的最大值或最小值问题，即f(m)(x)min或f(m)(x)max,然后再解相应的不等式即可.解：原不等式等价于ax^sinx-cosx+1.当x=0时，a•0彡0恒成立，aER;②当xE(0，：时，原不等式等价于sinx-cosx+1x.构造函数g(X)=sinx-cosx+1x,求导得g'(X)=x(cosx+sinx)-sinx+cosx-1x2.构造函数h(x)=x(cosx+sinx)-sinx+cosx-1，求导得h'(x)=x(cosx-sinx).则当xE(0，it4)时，h'(x)〉0;当xE(ji4，

6、ji］时，hz(x)h(0)=0，h(h)20，g(x)单调递增；当xE(x0,n)时，h(x)