含参不等式恒成立问题的求解策略教学案

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1、《含参不等式恒成立问题的求解策略》教（学）案教学目标：知识与技能：理解不等式恒成立问题成立的充要条件，并掌握解决此类问题的基本技能．过程与方法：培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想．情感、态度与价值观：通过对问题的探究，理解事物间普遍联系与辩证统一观点，体验成功的喜悦．教学重点：重点：理解解决不等式恒成立问题的实质，有效掌握不等式恒成立问题的基本技能．教学难点：难点：利用转化思想，通过函数的性质与图像化归至最值问题来处理恒成立问题．教学方法：诱导探究法教学手段：多媒体辅助教学教学班级：乌鲁木齐市高级中学2011届

2、高三21班教学时间：2011年3月24日第8节地点：4号楼（行政楼）二楼电教室教学过程：一、设置情境，感受生活市二模考试结束了，几人欢喜几人愁！教室外面的那个同学考试成绩比我们班同学都低，用不等式的知识怎样概括表达？可以归结为什么类型的问题？二、了解高考，把握热点简单的生活问题，概括为“不等式恒成立”的数学问题，它不但在近几年高考中频繁出现，而且出现的试题大多数以大题为主。2008－2010高考试卷中恒成立的题目如下：2008年39套安徽理第20题文第21题全国II文第21题理第22题陕西理文第22题理第21题辽宁理第22题全国I第19题湖南理第21题文第2

3、1题天津理第20题文第21题12套2009年39套重庆理第5题浙江文第21题理第22题上海理第11题辽宁理第21题江西理第15，17题湖北文理21题北京理第18题文18题湖南理第8题上海春季招生第17题11套201039套山东理第14题，全国II文第22题理第20题全国Ⅲ理第21题湖北理第21题海南文第20题理第21题天津理第16题湖南理第20题安徽文第17题理第19题四川理第22题江西文第17题理第19题福建文第22题理第21题16套三、感悟高考明确考向(2010·山东理14)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是____________．三、回归课

4、本提炼方法例1（新课标选修2-2第28页例题4，第30页例题5改编）已知函数4用心爱心专心在区间上的导数，则实数的取值范围是归纳总结，概括方法从例1可以看出，解决恒成立的不等式问题，可以考虑如下方法：（1）转化为求原函数的最值恒成立，恒成立变式1（2009重庆理第5题）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）（新课标选修4-5第20页第9题改编）A．B．C．D．变式2（2011年乌鲁木齐二模第17题（2））设，对于，总有成立，整数的最大值为．变式3（2011年乌鲁木齐一模第21题）设函数，当恒有f(x)≤－1，求实数a的取值范围．设计意图：越是高考最后

5、的阶段越需要回过头来研读课本，近几年来恒成立问题的试题主要是基本初等函数的组合为主，在课本中都有原型。所以引用课本例题进行改编和变式，从简单的函数入手掌握解题方法，然后进行巩固、辨析、加深。三、化隐为显突出重围例2（2009北京理第18题）设函数，若函数在区间内单调递增，求的取值范围.从例2可以看出，解决恒成立的不等式问题，还可以考虑如下方法：（2）变量分离法（转化为求新函数最值）（为参数）恒成立（为参数）恒成立变式4若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为。（新课标选修2－1第27页第3（3）题改编）设计意图：学生在解决恒成立问题时首先是被题目中隐性恒成立

6、问题所迷惑，不知道是关于恒成立问题；其次，当发现是恒成立的问题后又无法选取正确的、简便的方法去解决问题。四、变形求解提升思维例3(2010·全国课标卷理第21题)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2，若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．4用心爱心专心变式5（2007年全国Ⅰ第20题）设函数，若对任意的都有成立，求实数的取值范围．设计意图：学生在解决恒成立问题时首先想到的是直接用常规方法解决，当直接解法无法解决问题时，就要考虑变形求解。五、增加参数体会深度例4（2011新疆自治区一模第21题）已知，其中.若对对任意，在上恒成立，求实数的取值范围．分析

7、思路：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．本题的实质还是通过函数求最值解决．解：恒成立又即恒成立由得又∴即设，则，，所以在递减所以实数的取值范围是设计意图：通过变式，逐步增加思考难度，例4是有关双参数的恒成立问题，再次让学生懂得解决此类问题的实质是解决函数最值问题和让学生体会转化到利用函数思想求解的重要性．变式6（08天津理第20题）已知函数，其中.若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.方法1：化归最值，；方法2：变量分离，或；方法3：变更主元，，六、课堂小结通过今天这堂复习课，我们领略了解决恒成立问题的多种常见求解方法，事实上，这

8、些方法都不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合