含参不等式恒成立问题的求解策略演示版

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1、含参不等式恒成立问题的求解策略“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，而这类习题中含参数不等式恒成立的问题，方法灵活多样，令不少同学望而生畏，束手无策.解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.本文将结合事例，谈谈这类习题的常见求解策略.一、利用一次函数的性质对于_次函数f(x)=kx+b(kMO),xW[m,n]有f(x)>0恒成立<=>f(m)>0,f(n)>0；f(x)<0恒成立Of(m)<0»f(n)<0.对于_次函数f(x)=kx+b(k^0),x^(m,n)有f(x)>0恒成立Of(m)>0,f(n)>0

2、；f(x)<0恒成立Of(m)<0,f(n)<0.例1已知不等式x?+(t—4)x+(4—2t)>0对满足te(-l,1)的所有t都成立，求x取值范围.分析：若直接解关于x的不等式，再由t的范围求出x的范围，不仅过程繁杂，而且也不易得出正确结论，然而，换一个角度，反客为主，整理成••••关于t的形式:(X—2)t+(x—2)2>0(显然有xH2)令f(t)=(x—2)t+(x—2冗则f(t)是t的一次函数.由于f(t)>0对te(-b1)ff(-l)>0fx2-5x+6>0恒成立，则有[f(l)no^[x2-3x+2>0,故x>3或x

3、+bx+c(a#0,xWR),有f(x)>0对x^R恒成立<=>a>0,A<0；f(x)<0对xWR恒成立<=>a<0,A<0.例2已知二次函数f(x)满足f(—2)=0,且3x+52.(2)设f(x)=ax2+bx+c(afO)则由f(—2)=4a-2b+c=0b=3a+20及f(—1)=2,得a-b+c=2=[c=2a+4.・••有3x+5

4、0且(a—2)x2+(3a—5)x+(2a—3)<0恒成立a>0△i=(3a-1)?-4a(2a-1)50且a<2(显然aH2)=(3a-5)2-4(a-2)(2a-3)<0a>0Ja<2_(a-l)2<0K[a2-3a+l<0^a=1,f(x)=x2+5x+6.点评：此题第(2)问条件较隐蔽，但最终转化成了含参数a的两个不等式恒成立问题得到了解决.三、转化为求函数的最值此法是把不等式中的参数t与未知数X分离出来(井谒琴数迭)，得到t>f(x)或tVf(x).t>f(x)恒成立<=>t>[f(x)]max；tvf(x)恒成立ot<[f(x)]min.例3已知数列｛aj满足an=n2n+3n+

5、l,若an<入4n,对一切nWN*恒成立，求入的取值范围？解：该题中若将n看作主元，入为参数，则构造辅助函数g(n)=(n2n+3n+l)/4n,原式不等式等价转化为入>[g(n)]max.又因为g(n+1)=((n+1)2n+1+3n+1+l)/4n+1且g(n+1)—g(n)=((1—n)2n+1—3n—3)/4n+1<0,故心1时，g(n)为递减数歹!J,所以g(l)max=3/2,.I入>3/2.例4已知函数f(x)=—x3+px2+qx+r且p2+3q<0,若对xWR都有f(m2—sinx)>f(m+V2+cosx),求m的取值范围.分析：此题的特点是含的字母多，但是欲求m的范围首

6、先要判断f(x)的单调性.由f*(x)=—3x2+2px+q,而A=4p2+12q=4(p2+3q)<0,得f!(x)<0,.•・f(x)在R上是单调减函数.f(m2—sinx)>f(m+V2+cosx)<=>m2—sinxm2—m—V2<(sinx+cosx)min(xGR)Om?—m—a/2<-/2,故0

7、2O的图象如图所示，/f(x)的图象是半圆(x+2)2+y2=4(y>0),g(x)的图象是平行的直线系4x—3y+(3—3a)=0要使f(x)Sg(x)恒成立，则圆心(一2,0)到直线4x—3y+3,_

8、-8+3-3a

9、、c-3a=0的距离满足—5~2,解得a<-5或玄W(舍去).例6定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,yGR都有f(x+y)=f(x)+f(y).[x>0,f(x