例谈恒成立不等式的求解策略.docx

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1、例谈恒成立不等式的求解策略洪湖一中严义兵含参数不等式的恒成立问题是不等式中重要的题型，也是各类考试的热点．这类问题既含参数又含变量，学生往往难以下手，怎样处理这类问题呢？转化是捷径．通过转化能使恒成立问题得到简化，而转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用．下面就其常见类型及解题策略举例说明．一﹑可化为一次不等式恒成立的问题例．对于满足0p4的一切实数，不等式x2px4xp3恒成立，试求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数yx2(p4)x3p，于是问题转化为：当p0,4时，y0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想

2、而知，这是相当复杂的．解：设函数f(p)(x1)p(x24x3)，显然x1，则f(p)是p的一次函数，要使f(p)0恒成立，当且仅当f(0)0，且f(4)0时，解得x的取值范围是(,1)(3,)．点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色．二﹑二次不等式恒成立问题例．已知关于x的不等式(m24m5)x24(m1)x30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．分析：利用二次项系数的正负和判别式求解，若二次项系数含参数时，应对参数分类讨论．解：()当m24m50时，即m1或m5，显然m1时，符合

3、条件，m5不符合条件;()当m24m50时，由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件，得m24m50,，解得1m19．1)212(m216(m4m5)0综合()()得，实数m的取值范围为1,19．三﹑绝对值不等式恒成立问题例．对于任意实数x，不等式x1x2a恒成立，求实数a的取值范围．分析：把左边看作x的函数关系，就可利用函数最值求解．3,x1解法：设f(x)x1x2，则f(x)2x1,1x2，fmax(x)3，a3．3,x2分析：利用绝对值的几何意义求解．解法：设x﹑1﹑2在数轴上对应点分别是P﹑A﹑B，则x1x2PAPB当点P在线段AB上时，3PAPB3;当点P在点A的左侧时

4、，PAPB3;当点P在点A的右侧时，PAPB3;因此，无论点P在何处，总有3PAPB3，所以当a3时，PAPBa恒成立，即对于任意实数x，不等式x1x2a恒成立时，实数a的取值范围为(3,)．分析：利用绝对值不等式ababab求解f(x)x1x2的最大值．解法：设f(x)x1x2．x1x2x1x23且x2时等式成立，fmax(x)3，a3．四﹑含对数﹑指数﹑三角函数的不等式恒成立问题例．当x(0,1)时，不等式x2logax恒成立，求a的取值范围．2x2，g(x)分析：注意到函数f(x)logax都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切x(0,1)，f(x)g(x)

5、恒成立，只要在(0,1)内，g(x)logax的图象在f(x)x222图象的上方即可．显然0a1，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即1g(1f())．22(0,1)，f(x)解：设f(x)x2，g(x)logax，则要使对一切xg(x)恒成立，由图象可2知0a1，并且f(1)g(1)，故有loga11，122124a又0a1a1，1616点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用．此外，从图象上直观得到0a1后还需考查区间(0,1)右端点x1处的函数22值的大小．五、形如“af(x)”型不等式形如“af(x)”或

6、“af(x)”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“af(x)在xD上恒成立，则a[f(x)]max(xD);af(x)在xD上恒成立，则a[f(x)]min(xD)”．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型．例．已知二次函数fxax2x，若x0,1时，恒有f(x)1，求a的取值范围．()解：f(x)1，1ax2x1，即1xax21x（）当x0时，不等式1a01显然成立，aR（）当0x1时，由1xax21x得11a11．x2xx2x11(11)210，(11)minx2xx24x2x又11(11)212，(1x2xx24x2综上得，a的取值范围为2a0．六、

7、形如“f(x1)f(x)f(x2)”型不等式例．已知函数f(x)2sin(x)，若对任意250，a0．1)max2，a2．2a0．xxR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则x1x2的最小值为．解：对任意xR，不等式f(x1)f(x)f(x2)恒成立，f(x1)，f(x2)分别是f(x)的最小值和最大值．对于函数f(x)2sin(x)，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是，即半个周25期．x1x2的最小值为七、形如“f(x12x2)f(x1)f(x2)”型不等式2例．在y2x，ylo