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1、“不等式恒成立问题”求解中的几个抓手论文恒成立问题是高中数学中的一个热点，而不等式更是高考的重点，有人说“不等式恒成立问题”是高考的兴奋点，这不无道理.但此类问题解法灵活、综合性强，部分学生常感到无从下手，茫然不知所措，那么到底如恒成立问题是高中数学中的一个热点，而不等式更是高考的重点，有人说“不等式恒成立问题”是高考的兴奋点，这不无道理.但此类问题解法灵活、综合性强，部分学生常感到无从下手，茫然不知所措，那么到底如何解决这类问题呢?实际上只要紧紧“抓”住这类问题求解中的几个“抓手”，求不等式恒成立问题
2、就会迎刃而解.本文试对这类问题作一些归纳和总结，以飧读者.1.抓“解集”对于恒成立问题，不等式的解集虽是一把双刃剑，它常会导致把不等式的解集与恒成立混为一谈的错误，但如能搞清它们之间的联系与区别，就能把“解集”作为“恒成立”求解的突破口.例1关于x的不等式x+(m+1)x+m0在［0，9)上恒成立，求实数m的取值范围.解析：原不等式等价于(x+1)(x+m)0,x≥0,即x-m,x≥0.当m≥0时，不等式解集为空集；当m0时，原不等式解集为［0,m2)，当且仅当［0，9)［0,m2)且m0时，原结
3、论成立，即m2≥9且m0，故m≤-3.2.抓“主元”在错综复杂的各种矛盾中，抓住了主要矛盾，就犹如抓住了一根主线，从而使次要矛盾迎刃而解.同样地在数学问题中，多变元的干扰，常会使学生思维的头绪，陷入众多繁复的岔道中，剪不清，理还乱，而如若分清主次，抓住主元，则犹如抓住一根主线，一目了然.例2(2006四川卷(文))已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5，其中f′(x)是f(x)的导函数，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)0,求实数x的取值范围.解析：它表面上是一
4、个给出参数a的范围，解不等式g(x)0的问题，事实并非如此.现把以x为变量的函数g(x)=3x2-ax+3a-5，改为以a为变量的函数，即以变量a为主元，令φ(a)=(3-x)a+3x2-5(-1≤a≤1)，则对-1≤a≤1，恒有g(x)0，即φ(a)0，从而转化为对-1≤a≤1,φ(a)0恒成立问题，又由φ(a)是a的一次函数，问题就容易解决了，只需φ(1)0,φ(-1)0,即3x2-x-20,3x2+x-80,解方程组得-233.抓“△”二次不等式是不等式问题中一种最常见的题型，解决这类问题
5、有很多方法，但万变不离其宗，其最根本的方法，还是利用“二次式中的判别式△”.例3若不等式-x2+2mx-2m-10,x∈［0，1］恒成立，求m的范围.解析：不等式要求在x∈［0，1］时恒成立，所以△0仅是一个充分条件.按判别式讨论，设f(x)=-x2+2mx-2m-1.(1)△0时，可解得1-2(2)(Ⅰ)△≥0f(0)0m0或(Ⅱ)△≥0f(1)0m1解得-12-12.4.抓“分离”由“函数极值”思想可得，f(x)≥a恒成立a≤f(x)min;f(x)≤a恒成立a≥f(x)max.
6、由此，此类问题可化归为求函数最值或值域的问题，利用这种方法，关键是将参数与未知数进行分离，因此叫分离参数法.例4在△ABC中，已知f(B)=4sinBsin2(π4+B2)+cos2B，且
7、f(B)-m
8、2恒成立，求实数m的取值范围.解析：由f(B)=2sinB［1-cos(π2+B)］+cos2B=2sinB+2sin2B+1-2sin2B=2sinB+1,∵0f(B)-2m∴m1,m≤3，即m∈(1，3］.例5(2000年日本大学入学试题)已知两个函数f
9、(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数.(1)若对任意的x∈［-3，3］，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；(2)若对任意的x1、x2∈［-3，3］，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围.解析：(1)令F(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,问题转化为F(x)≥0在x∈［-3，3］上恒成立，为此只需F(x)在［-3，3］上的最小值F(x)min≥0即可.∵F′(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2),
10、由F′(x)=0得x=2或x=-1.∴F(-3)=k-45,F(3)=k-9,F(-1)=k+7,F(2)=k-20,∴F(x)min=k-45,由k-45≥0，解得k≥45.(2)由题意可知，当x∈［-3，3］时，都有f(x)max≤g(x)min.由F′(x)=16x+16=0得x=-1.∵f(-3)=24-k,f(-1)=-8-k，f(3)=120-k,∴f(x)max=120-k,又由g′(x)=6x2+10x
