一类相对转动时滞非线性动力系统的稳定性分析-修改稿

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1、稿件编号：20093326刘浩然一类相对转动时滞非线性动力系统的稳定性分析*国家十一五科技攻关项目(批准号:2007BAF02B10),河北省自然科学基金(批准号:F2008000882)资助的课题．†刘浩然．E-mail：liuhaoran1980@163.com刘浩然1)††朱占龙2)时培明2)1)(燕山大学信息科学与工程学院，秦皇岛066004)2)(燕山大学电气工程学院，秦皇岛066004)（2009年12月9日收到；2010年1月30日收到修改稿）建立了具有时变刚度、非线性阻尼和谐波激励的一类相对转动时

2、滞非线性动力系统的动力学方程．采用多尺度法推导出时滞动力系统的分岔响应方程，运用奇异性理论研究系统结构稳定性，得到主共振稳态响应方程的转迁集以及不同参数下分岔曲线的拓扑结构．应用Hopf分岔理论讨论了时滞动力系统动态稳定性，给出了系统产生极限环的条件，最后用数值模拟的方法研究了时滞参数对系统极限环幅值的影响．关键词：相对转动，时滞动力系统，稳定性，极限环PACC：0340D,03131.引言转动是自然界中最基本的运动形式之一．1985年Carmeli[1,2]提出了转动相对论力学理论，181996年罗绍凯[3,4

3、]提出了转动相对论分析力学理论．近年来，人们对转动相对论性动力学方程的非线性、变质量及代数几何结构等进行了研究[5-7]．基于相对性原理，建立了圆柱体任意两个横截面间的相对转动线性和非线性动力学方程，并对系统进行了定量分析[8-10]，研究了非线性刚度和非线性阻尼的相对转动系统的动力学特性[11-14]．时滞现象广泛存在，如电路[15]、光学[16]、神经网络[17]、海洋气候[18]等领域，人们对时滞系统的研究取得了一些成果．文献[19]对含有两个时滞参数的Duffing系统的主共振、亚谐共振及超谐共振进行了研

4、究．文献[20，21]利用多尺度法研究了时滞作为参数对Vanderpol-Duffing方程的主共振分岔响应的影响．文献[22]设计了非线性状态反馈控制器对参数激励系统的2倍超谐共振进行控制．上述研究均表明时滞对系统动力学行为产生了显著影响．本文基于耗散项的Lagrange方程建立一类含时变刚度、非线性阻尼和谐波激励的相对转动时滞非线性动力学方程．采用多尺度法对时滞动力系统的主共振响应求解并进行奇异稳定性分析，得到系统的转迁集和分岔曲线的拓扑结构．应用Hopf分岔理论研究系统平衡点的分岔性质，得到产生极限环的条件

5、，并通过数值计算证明改变时滞参数可以实现对极限环幅值的良好控制，说明时滞系统在振动控制领域有广泛的应用前景．2.相对转动时滞非线性动力学方程相对转动系统是工程中广泛存在的动力传动系统，对于两质量的相对转动系统，设，为相对转动系统集中质量的转动惯量，为系统的扭转刚度，分别为两个集中质量的转角，分别为两个集中质量的转速，，分别是两个集中质量的外加力矩．相对转动系统的动能为(1)阻尼力表示为(2)18(3)结合实际的工程物理结构，考虑刚度为时变刚度，即(4)其中，为刚度激励频率，为刚度的变动幅值，为等效刚度．系统的势能

6、为(5)把(2)式和(3)式代入动力学普遍方程(6)其中，，为广义外力，为广义阻尼力．广义力(广义力矩)为(7)其中，为广义坐标，为自由度数目．将(2)式和(3)式代入(7)式后得到本系统的广义力(广义力矩)为(8)(9)将(1)式、(2)式、(3)式、(5)式、(8)式和(9)式代入如下Lagrange动力学方程(10)可得(11)(12)其中，分别为系统集中质量的角加速度．对于相对转动动力系统，考虑18相对转角变化，由(11)式乘以减去(12)式乘以得到(13)其中，，，，，，．考虑一类非线性阻尼，即，令，，

7、则(13)式变为(14)其中，表示系统的固有频率，为外扰激励．(14)式就是一类含时变刚度和外扰激励作用下二质量相对转动的非线性动力学方程．时滞因素在工程中广泛存在，转动系统中由于结构迟滞特性[21]以及外部激励延时作用等因素影响下，系统往往处于时滞反馈作用之下．本文考虑时滞反馈作用下时变刚度相对转动非线性动力系统的稳定性问题．含时滞反馈受控动力系统为(15)其中，和为时滞量，和为增益系数，和大于零时为正反馈，和小于零时为负反馈．3.分岔响应方程非线性项冠以小参数，则(15)式化为(16)采用多尺度法[23-26

8、]，设方程(16)的摄动解形式为(17)其中，为快变时间尺度，为慢变时间尺度．在主共振情况下，设，这里为调谐参数．为了简化过程且不失一般性[27]，令，．将(17)式代入(16)式18，并令等式两边同次幂系数相等，得到方程(18)(19)其中，微分算子，设(18)式复数形式的解为(20)其中，为共轭函数且均为关于的函数，将(20)式代入(19)式中可以得到(21)其中，(