构建函数模型_利用函数图象_探索函数零点.doc

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1、构建函数模型，利用函数图象，探索函数零点构建函数与方程的桥梁，利用图象求得一类问题解决，从中体验数形结合思想的应用和价值2011年高考数学山东卷在保持稳定，充分体现新课程理念的基础上，又呈现出许多亮点,其中对函数零点的考查便是其中之一.1．题目：已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a1)。当2

2、题.题目中函数f(x)是对数函数和一次函数的组合，含有两个参变量.现在以人教A版数学教材88页“如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.”为依据，解法（一）如下：23,-b<-3,2-b<-1,loga2+2

3、-b<0,即f(2)<0.30,f(3)>0,即f(2)·f(3)<0.由x0(n,n+1),nN*.知n=2.函数零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断．定理的逆命题不成立.亮点2：考查解法迥异，解题殊途同归函数的零点是教材中出现的重要概念之一.我们通过挖掘函数零点的内涵，构建函数模

4、型，利用函数图象，探求函数零点的不同解法.以人教A版87页“方程f(x)=0有实数根　　函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点”为出发点，从而把方程问题可以转化为函数问题来求解.解法（二）：观察函数y=f1(x)=logax(23-2=1,故f1(2)-f2(2)<0;当x=3时，f1(3)=loga3>logaa=1,f2(3)=b-3<4-3=1,故f1(3)-f2(3)>0。

5、因此，存在x0(2,3)，使得f1(xo)=f2(x0)，即n=2.推广至更一般情形：函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.在建立方程的根与函数零点关系时，函数图象起到了桥梁纽带作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系.譬如2009年高考数学山东卷文理科第14题：若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是__________.解析探究：分别令f1(x)=ax，f2(x)=x+a.当0

6、1时，两函数的图象只有一个交点，不符合；当a>1时，因为函数f1(x)=ax的图象过点(0,1)，而直线f2(x)=x+a所过的点(0,a)一定在(1,0)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是(1,+).亮点3：考查内容丰富，探索解题规律函数的零点和图象均是历年高考命题考查的热点，利用函数图象，通过观察估算解决一类函数零点的客观题目，形成解题的模式.2009年高考数学辽宁卷第12题：若满足2x+=5,满足2x+2(x－1)=5,+＝（）.（A）(B)3(C)(D)4.解析:由2x=5-2x，令y1=2x,y2=5-2x.当x=1时

7、,y1=2,y2=3,y1-y2<0.当x=1.5时，y1=21.5>2,y2=2,y1-y2>0.所以必存在x1(1,1.5)，使2x1=5-2x1.同理，可估算得知必存在x2(2,2.5)，使2log2(x2-1)=5-2x2.因此x1+x2(3,4)，选C.亮点4：考查要求恰当，创新题目形式自从新课改数学教材添加函数零点的内容以来，每年高考命题均加大对函数零点的考察力度，出现了一定量的考察函数零点的试题.如2011年高考数学课标全国卷文科第10题：在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为（）.（A）（-,0）(B)(0

8、,)(C)(,)(D)(,).解析：f(x)=ex+4x-3f＇(x)=ex+4>0,f(x)在定义域R上是递增函数.f(-)=e--4<0,f(0)