二次函数与幂函数.docx

《二次函数与幂函数.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§2.4二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)4ac－b24ac－b2值域4a，＋∞－∞，4a在x∈－∞，－b在x∈－b，＋∞上单调递2a上单调递2a减；在x∈－b减在x∈－∞，－b单调性2a，＋∞上单2a上单调调递增递增对称性函数的图象关于x＝

2、－b对称2a2.幂函数α(1)定义：形如y＝x(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较特征1函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x2性质定义域RRR[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)非奇非偶奇偶性奇函数偶函数奇函数函数x∈[0，＋∞)单调性增时，增；x∈(－增增∞，0]时，减－1y＝x{x

3、x∈R且x≠0}{y

4、y∈R且y≠0}奇函数x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)2(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4a

5、c－b.4a(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(4)当n>0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数．(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±2.2(6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.2．(2013·庆重)3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为932A．9B.2C．3D.2答案B解析因为3－aa＋6＝18－3a－a23281＝－a＋2＋4，所以当a＝－33－aa＋6的值最

6、大，最大值为92时，2.3．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上A．先减后增B．先增后减C．单调递减D．单调递增(×)(×)(×)(×)(×)(×)()()答案D解析由f(x)为偶函数可得m＝0，∴f(x)＝－x2＋3，∴f(x)在区间(－5，－3)上单调递增．4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．答案[1,2]解析y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1.当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数．∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2

7、－2m＋3＝2.∴m＝1，无解．当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝12－2×1＋3＝2，ymax＝f(0)＝3.当m>2时，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3，∴m＝0或m＝2，无解．∴1≤m≤2.5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________．答案1或2m2－3m＋3＝1解析由，解得m＝1或2.m2－m－2≤0经检验m＝1或2都适合.题型一二次函数的图象和性质例1已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4

8、,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(

9、x

10、)的单调区间．思维启迪对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥

11、6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(

12、x

13、)＝x2＋2

14、x

15、＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，x2＋2x＋3，x∈0，6]且f(x)＝，2x－2x＋3，x∈[－6，0]∴f(

16、x

17、)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．思维升华(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．(1)二次函数的图象过点

18、(0,1)，对称轴为x＝