幂函数与二次函数.docx

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1、幕函数与二次函数基础梳理1幕函数的定义一般地，形如y=x"(妖R)的函数称为幕函数，其中底数x是自变量，a为常数.2.幕函数的图象1在同一平面直角坐标系下，幕函数y=x,y=x2,y=x3,y=乂女,y=x-1的图象分别如右图.3.二次函数的图象和性质V1102«解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)图象定义域(—x,+x)(-x,+x)值域单调性在x€—2^,+^上单调递增在x€—x,——上单调递减在x€—x,_2a上单调递增在x€—2^,+^上单调递减奇偶性当b=0时为偶函数，bM0时为非奇非偶函数顶

2、点对称性图象关于直线x—玄成轴对称图形5.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(aM0)⑵顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a^0)(3)两根式：f(x)=a(x-xi)(x-x2)(aM0)函数y=f(x)对称轴的判断方法⑴对于二次函数...y=f(x)对定义域内所有…x,.都有一f(x。三f(.x2),那么函数.y=f(x)的图象关于.一x三x1+x.2对称.•⑵一般地,…函数...y=f(x)对定义域内所有…x,都有.f(a.±x)=f(a-x)成立，则函数..y=f(x)的图象关于直线-x亍a.对称(a.

3、为常数.).练习检测1.(2011安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x2-x,则f(1)=().A.-3B.-1C.1D.3解析--f(x)为奇函数，•••f(1)=—f(-1)=—3.答案A12.如图中曲线是幕函数y=xn在第一象限的图象.已知n取立，g四个值，则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n值依次为().A.-2,1122，2，11B.2,2，-2，-2C.-1,-2,2,1答案B—x,x<0,3.(2011浙江)设函数f(x)=2x2,x>0.若f(c)—4,则头数a等于().A.--4或—2B.-4或2

4、C.-2或4D.-2或2a0,a>0,解析由或2得a=—4或a—2,故选B.—4a=4,答案B4.已知函数f(x)=x2—2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b等于().A.3B.2或3C.2D.1或2解析函数f(x)=x2-2x+2在［1,b］上递增,即b―3b+2二0,解得&=2.b>1.f1=1,由已知条件fb二b,b>1,答案C5.(2012武汉模拟)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b€R)是偶函数，且它的值域为(-^,4],则该函数的解析式f(x)二.解析f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2由已知条件ab+

5、2a=0,又f(x)的值域为(-x,4],aM0,则b=—2,因此f(x)=—2x2+4.2a2=4.答案—2X2+45.函数f(x)=x2—2x+2在闭区间［t,t+1］(t€R)上的最小值记为g(t).(1)试写出g(t)的函数表达式；⑵作g(t)的图象并写出g(t)的最小值.［审题视点］分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式.解⑴f(x)=(x—1)2+1.当t+K1,即t<0时，g(t)=t2+1.当t<11时，g(t)=f(t)=(t—1)2+1t2+1<0,t<0,综上可知g(

6、t)=1,01.⑵g(t)的图象如图所示，可知g(t)在(—x,0］上递减，在［1,+鸡)上递增，因此g(t)在［0,1］上取到最小值1.•m；(1)二次函数y=ax2+bx+c,在(—^,+^)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；⑵二次函数y=ax2+bx+c,在［m,n］上的最值需要根据二次函数y=ax2+bx+c图象对称轴的位置，通过讨论进行求解.6.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x€［—5,5］.(1)当a=—1时，求函数f(x)的最大值和最小值.(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间

7、［—5,5］上是单调函数.解(1)当a=—1时，f(x)=x2—2x+2=(x—1)2+1,x€［—5,5］,•••x=1时，f(x)取得最小值1；x=—5时，f(x)取得最大值37.⑵函数f(x)=(x+a)2+2—a2的图象的对称轴为直线x=—a,•••y=f(x)在区间［—5,5］上是单调函数，•••—a<—5或—a>5,故a的取值范围是a<—5或a>5.25.已知幕函数f(x)xm2m3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0,+^)上是减函数，求满mm足(a1)3(32a)衣的a的取值范围.［审题视点］由幕函数的性质可得到幕指数m2—2

8、m—3v0,再结合m是整数，及幕函数是偶数可得m的值.解•••函数在(0,+^)上递减，二m2—2m—3v0，解得—1