幂函数与二次函数

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1、一、常用幂函数的图象与性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域值域RR{x

2、x≥0}{x

3、x≠0}{y

4、y≥0}{y

5、y≥0}{y

6、y≠0}RRR奇偶性单调性定点奇偶奇非奇非偶奇增(－∞，0]上为减函数(0，＋∞)上为增函数增增(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数(1,1)1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)是()A．f(x)＝x2－1B．f(x)＝5x2C．f(x)＝－x2D．f(x)＝x2DBαA－15．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是(－∞，2]A补充：幂函数重

7、要性质B二、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及其性质a>0a<0图象定义域值域RRa>0a<0对称轴顶点坐标奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数单调性x∈是减函数；x∈是增函数；x∈是增函数；x∈是减函数；a>0a<0最值当x＝时，ymin＝当x＝时ymax＝5．如图是一个二次函数y＝f(x)的图象．(1)写出这个二次函数的零点；(2)写出这个二次函数的解析式及x∈[－2,1]时函数的值域．解：(1)由图可知这个二次函数的零点为x1＝－3，x2＝1.∴f(x)＝－x2－2x＋3.（2）又x∈[－2,1]中，x∈[－2，－1]时

8、递增，x∈[－1,1]时递减，∴最大值为f(－1)＝4.又f(－2)＝3，f(1)＝0，∴最小值为0，∴x∈[－2,1]时函数的值域为0≤y≤4.3．(2011·青岛)已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[0,2]C．[1,2]D．(－∞，2]C4．(2012·泰安)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________．2或－11．幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否出现在第二、三象限，要看函

9、数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．例1：x2+x+c>0恒成立，求c的取值范围？例2：ax2+x+1>0恒成立，求a的取值范围？(变式)设函数f(x)＝mx2－mx－1，若f(x)<0的解集为R，则实数m的取值范围是__________．(－4,0]B[例2](2010·安徽高考)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()D若将本例中“abc>0”改为“abc<0”二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象不可能是哪一个？[例3]已知函数f(x)＝ax2＋bx

10、＋1，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．C[考题范例](12分)(2010·广东高考)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)＝x(x－2)．(1)求f(－1)，f(2.5)的值；(2)写出f(x)在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f(x)在[－3,3]上的单调性；(3)求出f(x)在[－3,3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的

11、取值．