幂函数与二次 函数

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1、幂函数与二次函数基础梳理1.幂函数的定义一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,α为常数.2.幂函数的图象在同一平面直角坐标系下,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x-1的图象分别如右图.3.二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)图象定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域单调性在x∈上单调递增在x∈上单调递减在x∈上单调递增在x∈上单调递减奇偶性当b=0时为偶函数,b≠0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x=-成轴对称图形5.二次函数解析式的三种形式(

2、1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)(2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)(3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)函数y=f(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2),那么函数y=f(x)的图象关于x=对称.(2)一般地,函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(a为常数).练习检测1.(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( 

3、 ).A.-3B.-1C.1D.3解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-3.答案 A2.如图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象.已知n取±2,±四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n值依次为(  ).A.-2,-,,2B.2,,-,-2C.-,-2,2,D.2,,-2,-答案 B3.(2011·浙江)设函数f(x)=若f(α)=4,则实数α等于(  ).A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或2解析 由或得α=-4或α=2,故选B.答案 B4.已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b等于(  

4、).A.3B.2或3C.2D.1或2解析 函数f(x)=x2-2x+2在[1,b]上递增,由已知条件即解得b=2.答案 C5.(2012·武汉模拟)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.解析 f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2由已知条件ab+2a=0,又f(x)的值域为(-∞,4],则因此f(x)=-2x2+4.答案 -2x2+46.函数f(x)=x2-2x+2在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为g(t).(1)试写出g(t)的函数表达式

5、;(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值.[审题视点]分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式.解 (1)f(x)=(x-1)2+1.当t+1≤1,即t≤0时,g(t)=t2+1.当t<1

6、c,在[m,n]上的最值需要根据二次函数y=ax2+bx+c图象对称轴的位置,通过讨论进行求解.7.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值.(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.解 (1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],∴x=1时,f(x)取得最小值1;x=-5时,f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为直线x=-a,∵y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,∴-a≤

7、-5或-a≥5,故a的取值范围是a≤-5或a≥5.8.已知幂函数的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足的a的取值范围.[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2-2m-3<0,再结合m是整数,及幂函数是偶数可得m的值.解 ∵函数在(0,+∞)上递减,∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3.∵m∈N*,∴m=1,2.又函数的图象关于y轴对称,∴m2-2m-3是偶数,而22-2×2-3=-3为奇数,12-2×1-3=-4为偶数,∴m=1.而f(x)=x-在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,∴(a+1)-<(3-2a)-等价于a+1>3-

8、2a>0或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a.解得a<-1或<a<.故a

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