幂函数与二次 函数

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1、幂函数与二次函数基础梳理1．幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象分别如右图．3.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x∈上单调递增在x∈上单调递减在x∈上单调递增在x∈上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x＝－成轴对称图形5.二次函数解析式的三种形式(

2、1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)函数y＝f(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝对称．(2)一般地，函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．练习检测1．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　

3、　)．A．－3B．－1C．1D．3解析　∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－3.答案　A2.如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为(　　)．A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－答案　B3．(2011·浙江)设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α等于(　　)．A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2解析　由或得α＝－4或α＝2，故选B.答案　B4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于(　　

4、)．A．3B．2或3C．2D．1或2解析　函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，由已知条件即解得b＝2.答案　C5．(2012·武汉模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析　f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2由已知条件ab＋2a＝0，又f(x)的值域为(－∞，4]，则因此f(x)＝－2x2＋4.答案　－2x2＋46.函数f(x)＝x2－2x＋2在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．(1)试写出g(t)的函数表达式

5、；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值．[审题视点]分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式．解　(1)f(x)＝(x－1)2＋1.当t＋1≤1，即t≤0时，g(t)＝t2＋1.当t<1

6、c，在[m，n]上的最值需要根据二次函数y＝ax2＋bx＋c图象对称轴的位置，通过讨论进行求解．7.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值．(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．解　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，∴x＝1时，f(x)取得最小值1；x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，∵y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a≤

7、－5或－a≥5，故a的取值范围是a≤－5或a≥5.8.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的a的取值范围．[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶数可得m的值．解　∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而f(x)＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－＜(3－2a)－等价于a＋1＞3－

8、2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或＜a＜.故a