导数的概念及其运算.docx

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1、§3.1　导数的概念及其运算教学目标1.导数的概念(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝，y＝x2，y＝x3的导数.(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数的导数.学习内容知识梳理1．函数的平均变化率：一

2、般地，已知函数，，是其定义域内不同的两点，记，，则当时，商称作函数在区间（或）的平均变化率．注：这里，可为正值，也可为负值．但，可以为．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变．如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率．“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”．函数在的瞬时变化率，通常称为

3、在处的导数，并记作．这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当时，”或“”．3．可导与导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数．记为或（或）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4．导数的几何意义：设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点

4、转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．5.初等函数的导数公式表，为正整数，为有理数注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意．6．导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．⑵函数积的求导法则：设，是可导的，则，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出

5、，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．⑶函数的商的求导法则：设，是可导的，，则．特别是当时，有．7．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．例题讲解题型一　利用定义求函数的导数例1　利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．思维启迪　正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是解本题的关

6、键．解　f′(x0)＝＝＝(x2＋xx0＋x)＝3x.曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为y－x＝3x·(x－x0)，即y＝3xx－2x，由得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.若x0≠0，则交点坐标为(x0，x)，(－2x0，－8x)；若x0＝0，则交点坐标为(0,0)．思维升华　求函数f(x)的导数步骤：(1)求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)计算平均变化率＝；(3)计算导数f′(x)＝.巩固　若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b

7、)，则的值为(　　)A．f′(x0)B．2f′(x0)C．－2f′(x0)D．0答案　B解析　＝2×＝2f′(x0)．题型二　导数的运算例2　求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝x；(3)y＝sin2；(4)y＝ln(2x＋5)．思维启迪　求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．解　(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·＝ex(lnx＋)．(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.(3)y＝sin2(2x＋)＝－cos(4x＋π)故设y＝－cosu，

8、u＝4x＋π，则yx′＝yu′·ux′＝sinu·4＝2sinu＝2sin(4x＋π)．(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，因此y′＝·(2x＋5)′＝.思维升华　(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算