2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质学案含解析北师大版必修2.doc

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1、6.2　垂直关系的性质考　纲　定　位重　难　突　破1.理解直线与平面垂直和平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言准确地描述定理．2.能够灵活地运用两个垂直性质定理证明相关问题．3.理解并掌握“平行”与“垂直”的相互转化，以及垂直关系之间的相互转化.重点：线面垂直和面面垂直性质定理的应用．难点：常与线面、面面垂直的判定定理结合命题，考查多个定理应用的相互转化．疑点：要证明的结论容易被当成已知使用.授课提示：对应学生用书第21页[自主梳理]一、直线与平面垂直的性质定理文字语言图形表示符号语言如果两条直线同垂直

2、于一个平面，那么这两条直线平行⇒a∥b二、平面与平面垂直的性质定理文字语言图形表示符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⇒a⊥β[双基自测]1．如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线和这个平面的垂线(　　)A．垂直B．相交C．平行D．异面解析：设m∥α，n⊥α，则α内一定有一条直线l，使得m∥l，且有l⊥n，所以m⊥n.答案：A2．在空间中，下列结论正确的是(　　)①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平

3、行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行A．②B．①④C．①D．①②③④解析：由公理4知①对；垂直于同一条直线的两条直线可以异面、相交、平行；平行于同一个平面的两条直线可能异面、相交、平行；由线面垂直的性质知④正确．答案：B3．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(　　)A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直线在另一个平面内解析：若这条直线平行于交线则它平行于另一个平面；若这条直线与交线相交则它与另一个平面也相交；若这条直线就是交线则它在另一个平面内．答案：D4．在Rt△ABC中，D是斜边AB的

4、中点，AC＝6cm，BC＝8cm，EC⊥平面ABC，EC＝12cm，则ED＝______cm.解析：连接CD，则CD＝5，又EC⊥平面ABC，所以EC⊥CD，所以ED＝＝＝13.答案：135．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有________条．解析：连接PD(图略)，∵PO⊥平面ABC，AC平面ABC，∴PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O，∴AC⊥平面PBD，∴平面PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，∴图中共有4条直线与AC垂直．答案：4授课提示：对应学生用书第

5、21页探究一　线面垂直的性质的应用[典例1]　如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.[证明]　连接DE.∵AD⊥AB，AD⊥AC，∴AD⊥平面ABC.又BC平面ABC，∴AD⊥BC.又AE⊥BC，∴BC⊥平面ADE.∵AF＝AG，D为FG的中点，∴AD⊥FG.同理ED⊥FG.又AD∩ED＝D，∴FG⊥平面ADE.∴BC∥FG.1．线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法．2．证明线线平行的方法：(1)a∥c，b∥c⇒a∥b.(2)a∥α，

6、aβ，β∩α＝b⇒a∥b.(3)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：连接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理，BD1⊥B1C.∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D

7、∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.探究二　面面垂直的性质的应用[典例2]　如图，四棱椎PABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.[证明]　设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO平面EDB，故

8、有平面EDB⊥平面ABCD.1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线这样就可利用面面垂直证明线面垂直．2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理．应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线