2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质课时作业北师大版必修2.doc

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1、1.6.2垂直关系的性质[学业水平训练]若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么(　　)A．直线a垂直于第二个平面B．直线b垂直于第一个平面C．直线a不一定垂直于第二个平面D．过a的平面必垂直于过b的平面解析：选C.对于两平面，无论关系如何，在两平面内一定可以找到互相垂直的两条直线，因此直线a不一定是第二个平面的垂线，故选C.直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是(　　)A．相交　　　　　　　　B．平行C．异面D．不确定解析：选D.因为梯形的两腰AB和CD一定相交且l⊥AB，l⊥CD，所以l垂直

2、于梯形ABCD.又因为直线m垂直于AD和BC，且AD∥BC.所以m与平面ABCD的位置关系不确定，因此l与m的位置关系就不确定，故选D.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：选B.过A点作AE⊥BD，交BD于E，E为垂足．因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AE⊥平面BCD.又BC平面BCD，∴BC⊥AE.又AD⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥AD.又∵AD∩AE＝A，且AD，AE平面ABD，∴BC⊥平面ABD，又AB平面ABD，∴BC⊥A

3、B，∴△ABC为直角三角形．如图所示，三棱锥PABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是(　　)A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：选D.∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，但要除去A和B两点，故选D.若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为(　　)①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n

4、⊥α⇒l∥n；③m⊥α，nα⇒m⊥n.A．1B．2C．3D．0解析：选C.①正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n.又l⊥α，∴n⊥α；②正确．∵l∥m，m⊥α，∴l⊥α.又n⊥α，∴l∥n；③正确．由线面垂直的定义可知其正确．故正确的有3个．已知直线m平面α，直线n平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．解析：由线面垂直的判定定理得，a⊥平面α，b⊥平面α.又由线面垂直的性质定理得a∥b.答案：a∥b7．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角的大小是___

5、_____．解析：过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.答案：45°8．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．解析：利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真，∴应填“若①③④，则②”，或“若②③④，则①”．答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)9．如图，已

6、知平面α∩平面β＝AB，PQ⊥α于Q，PC⊥β于C，CD⊥α于D.(1)求证：P，C，D，Q四点共面；(2)求证：QD⊥AB.证明：(1)因为PQ⊥α，CD⊥α，所以PQ∥CD，于是P，C，D，Q四点共面．(2)因为ABα，PQ⊥α，所以PQ⊥AB.又因为PC⊥β，ABβ，所以PC⊥AB.又因为PQ∩PC＝P，设P，C，D，Q四点共面于γ，则AB⊥γ.又因为QDγ，所以QD⊥AB.10.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在平面ABD内的射影O恰好落在AB上．(1)求证：AC′⊥BC′；(2)求AB与平面BC′D所成的角的正弦值

7、．解：(1)证明：由题意，知C′O⊥平面ABD，因为C′O平面ABC′，所以平面ABC′⊥平面ABD.又因为AD⊥AB，平面ABC′∩平面ABD＝AB，所以AD⊥平面ABC′，所以AD⊥BC′.因为BC′⊥C′D，AD∩C′D＝D，所以BC′⊥平面AC′D.所以BC′⊥AC′.(2)因为BC′⊥平面AC′D，BC′平面BC′D，所以平面AC′D⊥平面BC′D.作AH⊥C′D于H(图略)，则AH⊥平面BC′D，连接BH，则BH为AB在平面BC′D内的射影，所