2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.2 垂直关系的性质学案 北师大版必修2

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1、6.2　垂直关系的性质学习目标　1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理(重点)；2.能运用性质定理解决一些简单问题(重点)；3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系(重、难点).知识点一　直线与平面垂直的性质定理文字语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线【预习评价】(1)垂直于同一平面的两条直线一定共面吗？提示　共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？提示　有且仅有一条.假设

2、过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.知识点二　平面与平面垂直的性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线【预习评价】(1)如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，对吗？提示　正确.若设α∩β＝l，aα，bβ，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.(2)如果α⊥β，过β外的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线

3、必垂直于α，对吗？提示　错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直.题型一　直线与平面垂直的性质及应用【例1】　如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明　如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF

4、⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.规律方法　证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.【训练1】　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.

5、证明：AE∥MN.证明　因为AB⊥平面PAD，AE平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.题型二　平面与平面垂直的性质及应用【例2】　如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB

6、.证明　(1)∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB.∵VB⃘平面MOC，OM平面MOC，∴VB∥平面MOC.(2)∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.规律方法　(1)证明或判定线面垂直的常用方法：①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；④若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)；(2)两平面垂直的性质定理告诉我们要将

7、面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.【训练2】　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明　(1)连接BD，∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，又∵G是AD的中点，∴BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD且两平面交于AD，∴BG⊥平面PAD.(2)连接PG，由(1)可知BG⊥AD，∵△PAD是正三角形，G是AD

8、中点，所以PG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.方向1　证明直线和直线平行【例3－1】　如图，α∩β＝l，P