2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系的判定学案含解析北师大版必修2.doc

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1、6　垂直关系6．1　垂直关系的判定考　纲　定　位重　难　突　破1.了解线面垂直、面面垂直的定义．2.理解线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间角中有关二面角的定义．3.能运用判定定理证明线面、面面垂直.重点：线面垂直、面面垂直的判定．难点：找(作)二面角的平面角．方法：分类讨论思想在垂直关系中的应用.授课提示：对应学生用书第18页[自主梳理]一、直线与平面垂直1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．判定定理文字语言图形表示符号语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直⇒l

2、⊥α二、二面角及其平面角二面角定义从一条直线出发的这两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，两个半平面叫作二面角的面如图，记作：αABβ或αlβ范围0°≤θ≤180°画法如图：二面角αlβ若有①O∈l；②OAα，OBβ；③OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就叫作二面角αlβ的平面角三、平面与平面垂直1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2．判定定理文字语言图形表示符号语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⇒α⊥β[双基自测]1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是(　　

3、)A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内的无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内的任意一条直线垂直解析：根据线面垂直的定义，可知当l垂直于α内所有直线时，l⊥α.答案：D2．已知直线l⊥平面β，l平面α，则(　　)A．α⊥β　　　　　　　　B．α∥βC．α∥β或α⊥βD．α与β相交但不一定垂直解析：根据面面垂直的判定定理知α⊥β.答案：A3．二面角的平面角是指(　　)A．两个平面相交的图形B．一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形C．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形D．以两个相交平面交线上任意一点为端点，在

4、两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角解析：由定义知，二面角的平面角是指以两个相交平面交线上的任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角．答案：D4．从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(　　)A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°，若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.答案：C5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大

5、小关系为(　　)A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：反例：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角DAA1E与二面角B1ABD的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.答案：D授课提示：对应学生用书第19页探究一　直线与平面垂直的判定[典例1]　如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．[解析]　(1)证明：因为AP＝CP＝AC

6、＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.如图，连接OB，因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)如图，作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°.所以OM＝，CH＝＝.所以点C到平面POM的距离为.1．利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的“三个步骤”：(1)寻找：在这个平面内找两

7、条直线，使它们和这条直线垂直．(2)确定：确定这个平面内的两条直线是相交的直线．(3)判定：根据判定定理得出结论．2．线面垂直的三种判定方法：(1)用定义：证明l和平面α内任意一条直线都垂直．(2)用定理：证明l与平面α内“两条相交”的直线都垂直，即线线垂直⇒线面垂直．(3)用推论：若m⊥α，证明l∥m，即可知l⊥α.1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥A

8、C.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，A