2020_2021学年高中数学第三章导数应用3.1.1导数与函数的单调性学案含解析北师大版选修2_2.doc

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1、§1　函数的单调性与极值1．1　导数与函数的单调性授课提示：对应学生用书第25页[自主梳理]一、导函数符号与函数的单调性之间的关系1．如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数________，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的．2．如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数________，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．二、导函数绝对值大小对函数变化快慢的影响一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值变化较大，那么函数值在这个范围内变化的________，这时，函数的图像就比较“陡

2、峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就______一些．[双基自测]1．当x>0时，f(x)＝＋x，则f(x)的递减区间是(　　)A．(2，＋∞)　　　　　　B．(0,2)C．(，＋∞)D．(0，)2．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数(　　)A.B．(π，2π)C.D．(2π，3π)3．f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图像如图所示，则f(x)的图像可能是(　　)4．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的范围是______．[自主梳理]一、

3、f′(x)>0　f′(x)<0　二、快　“平缓”[双基自测]1．D　f′(x)＝－＋1，x>0，由f′(x)<0，x>0，得00时，f(x)的递减区间是(0，)．2．B3．D　由图知f′(x)在区间[a，b]上先增大后减小，但始终大于等于0，则f(x)的图像上点的切线的斜率应先增大后减小，只有D符合．4．(－∞，－1]　因为f′(x)＝－x＋＜0，在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以b＜x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立．而x(x＋2)在(－1，＋∞)上大于－1，所以b≤－1.授课

4、提示：对应学生用书第26页探究一　求函数的单调区间[例1]　已知函数f(x)＝x2＋alnx(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．[解析]　函数f(x)＝x2＋alnx的导数为f′(x)＝x＋.(1)当a>0时，函数的定义域是(0，＋∞)，于是有f′(x)＝x＋>0，所以函数只有单调递增区间，其增区间是(0，＋∞)．(2)当a<0时，函数的定义域是(0，＋∞)，于是由f′(x)＝x＋>0，得x>；由f′(x)＝x＋<0，得0

5、0，)．当函数解析式中含有参数时，求其单调区间问题往往要转化为解含参数的不等式问题，这时应对所含参数进行适当地分类讨论，做到不重不漏，最后要将各种情况分别进行表述．1．试确定下列函数的单调递减区间：(1)f(x)＝x＋(a>0)；(2)f(x)＝x3－(a＋a2)x2＋a3x＋a2.解析：(1)函数的定义域为{x

6、x≠0}．f′(x)＝(x＋)′＝1－＝(x＋)(x－)．要求f(x)的递减区间，故不妨令f′(x)<0，则(x＋)·(x－)<0，解得－

7、0，)．(2)y′＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)，令y′<0，得(x－a)(x－a2)<0.①当a<0时，不等式的解集为a1时，不等式解集为a1时，函数f(x)的递减区间为(a，a2)；当0

8、2，a)；当a＝0，a＝1时，无减区间．探究二　判断或证明函数的单调性[例2]　证明函数f(x)＝在区间(0,2)上是增加的．[解析]　由于f(x)＝，所以f′(x)＝＝，由于0＜x＜2，所以lnx＜ln2＜1，故f′(x)＝＞0，即函数在区间(0,2)上是增加的．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．2．判断y＝ax3－1(a∈R)在R上的

9、单调性．解析：∵y′＝3ax2，又x2≥0.(1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增；(2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减；(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．探究三　已知函数的单调性求参数的取值范围[例3]　若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围．[解析]　f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．由于导函数的二次项系数3＞0，所以只能有f′