高中数学 第3章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性学案 北师大版选修.doc

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1、§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.(重点、难点)3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)[基础·初探]教材整理 导数与函数单调性的关系阅读教材P57~P58“例1”以上部分,完成下列问题.一般地,在区间(a,b)内导数函数的单调性f′(x)>0单调增加f′(x)<0单调减少f′(x)=0常数函数1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则函数f(x)在定义域上

2、单调递增.(  )(2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”.(  )(3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.(  )【答案】 (1)× (2)× (3)√2.函数y=f(x)的图像如图311所示,则导函数y=f′(x)的图像可能是(  )图311A     BC       D【解析】 ∵函数f(x)在(0,+∞),(-∞,0)上都是减函数,∴当x>0时,f′(x)<0,当x<0时,f′(x)<0.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨

3、交流:疑问1:                                    解惑:                                    疑问2:                                    解惑:                                    疑问3:                                    解惑:                                    [小组合作型]单调性与导数的关系 (1)(

4、2016·武昌高二检测)函数y=f(x)的图像如图312所示,给出以下说法:图312①函数y=f(x)的定义域是[-1,5];②函数y=f(x)的值域是(-∞,0]∪[2,4];③函数y=f(x)在定义域内是增函数;④函数y=f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.其中正确的序号是(  )A.①②B.①③C.②③D.②④(2)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图313所示,则导函数y=f′(x)的图像可能为(  )图313A      BC      D【精彩点拨】 研究一个函数的图像与其导函数图像之

5、间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图像在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.【自主解答】 (1)由图像可知,函数的定义域为[-1,5],值域为(-∞,0]∪[2,4],故①②正确,选A.(2)由函数的图像可知:当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正,对照选项,应选D.【答案】 (1)A (2)D1.利用导数判断函数的单调性比利用函

6、数单调性的定义简单得多,只需判断导数在该区间内的正负即可.2.通过图像研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势;(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点,分析导数的正负.[再练一题]1.(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中,不正确的是(  )A     B       C      D(2)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图

7、像可能是(  )A       B       C      D【解析】 (1)A,B,C均有可能;对于D,若C1为导函数,则y=f(x)应为增函数,不符合;若C2为导函数,则y=f(x)应为减函数,也不符合.(2)因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则从左到右函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的.【答案】 (1)D (2)A利用导数求函数的单调区间 求函数f(x)=x+(a≠0)的单调区间.【导学号:】【精彩点拨】 求出导数f′(x),分a>0和a<0两种情况.由f′(x)>0求得单调增区间,由

8、f′(x)<0求得单调减区间.【自主解答】 f(x)=x+的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),f′(x)=1-.当a>0时,令f′(x)=1->0,解得x>或x<-;令f′(x)=1-<0,解得-0恒成立,所以当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞);单调递减区间为(-,0

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