高中数学 第三章 导数应用 3.1 函数的单调性与极值 导数与函数的单调性学案 北师大版选修.doc

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1、第一节函数的单调性与极值★学习目标1．掌握函数的导数与单调性的关系；2．会用导数研究函数的单调性，能根据导数值的变化规律说出函数值变化快慢的规律；★学法指导应用导数研究函数的单调性是导数应用的重点，也是高考的重点。学习中要注意及时总结并掌握解题方法和步骤。★知识归纳1．函数在其定义域中的某个区间内，如果>0,那么函数在这个区间内；如果<0,那么函数在这个区间内。2．若函数在其定义域内可导，则使=0的点称为函数的。3．如果一个函数在某一范围内的，说明函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象比较“陡峭”；反之，函数的图象就较“平缓”。4．函数的单调递增区间，可通过解不等式，函

2、数的单调递减区间，可通过解不等式。★重难点剖析重点：掌握导函数的正负与函数的增减性的关系，会用这种关系研究函数的单调性；难点：理解导函数等于零对函数单调性的影响；剖析：1．的值与的单调性的关系：利用导数的符号判断函数的单调性，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要的应用；函数在其定义域中的某个区间内恒有>0（<0），则函数在区间内单调增（减），反之不成立；函数在其定义域中的某个区间内单调增（减），则有（），反之也不成立（请同学们举例说明）。2．用导数研究函数单调性的一般步骤：①求导函数，并令其等于零求根；②上述根将函数的定义域分成若干区间，确定在各区间内的值的正负；

3、③根据②的结果下结论。★典例分析例1设=（1）求函数的单调区间；（2）当时，单调减，求实数的取值范围。分析：（1）求出导数，分别令>0或<0，解出x的取值范围，便可求出单调区间；（2）函数在某个区间上递增或递减，求参数的范围，实际上相当与求函数的单调区间，而题中告诉的单调区间一定是所求出的单调区间的一个子集，从而利用集合的有关知识解决，或转化为恒成立问题。变式练习1若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间（上为增函数，试求实数的范围。例2　已知，求证：。分析：首先应构造函数，对函数进行求导，并判断函数的单调性。变式练习2求证：函数的最小值是2。★基础训练1．已知函数在（内

4、是增函数，在（内是减函数，则（）A.的极大值是B.的极小值是－C.的极大值是0D.的极小值是2．函数的图象关于原点成中心对称，则（）A.在上为增函数B.在上为减函数C.在上为增函数，在上为减函数D.在上为增函数，在上为增函数3．路灯距地平面为，一个身高的人以的速度匀速地从路灯的正底下，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为（）ABCD4．（2007浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）5．若函数，则的单调递减区间为_______，单调递增区间为_______；6．已知函数若的单调减区间为，则；★能力提高1．当时，试讨论关于的方程有

5、几个实根？2．已知函数，（Ⅰ）求的单调区间和值域；（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围。★学后反思参考答案：例1：解：（1）令得：，。当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以，函数单调增区间为，；单调减区间为。（2）由（1）可知：。变式练习1：解：∵∴当时，在区间上单调增，不合题意。当时，的正负与的单调性如下图：—↗↘↗依题意有：例2：证明：令，则当时，，单调减，当时，，单调增；所以，，∴对，恒成立。即：对，变式练习2：证明：，，∴基础训练：1、A；2、D；3、A；4、D；5、；；6、；能力提高：1、解：令，。∴时，，单

6、调减；时，，单调增；且时，；时，且；又；的草图如图所示，∴方程（）只有一个实根。2、解：（1），∵∴，，∴时，，单调减；当时，，单调增；∴，又；。∴单调减区间是；单调增区间是；值域是（2）设的值域为A，依题意有：。∵，又，（∵）∴在上单间减，∴∴。