高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.1导数与函数的单调性课件.pptx

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1、3.1.1导数与函数的单调性导数与函数的单调性如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的.如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x)是减少的.名师点拨利用导数研究函数的单调性应注意的问题(1)定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调性.(2)注意“间断点”:在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间断点.(3)单调区间的表示:如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”

2、连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开.(4)在某一区间内,“f'(x)>0(或f'(x)<0)”是“函数f(x)在该区间上是增加的(或减少的)”的充分不必要条件,而不是充要条件.【做一做1】函数y=xlnx在区间(0,5)上是()A.增加的B.减少的解析:∵y'=x'lnx+x(lnx)'=lnx+1,答案:C【做一做2】函数f(x)=x3-x的递增区间是,递减区间是.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在该区间上是增加的,反之亦成立.()(2)函数f(x)在区间(

3、x1,x2)上的导数比在区间(x2,x3)上的导数大,则函数在(x1,x2)上比在(x2,x3)上增长的快.()(3)函数f(x)=lnx+在(-∞,1)上是减少的.()(4)在某个区间内有f'(x)=0,则f(x)为常数函数.()√×××探究一探究二探究三探究四思想方法求函数的单调区间【例1】求下列函数的单调区间.(1)f(x)=x4-2x2+3.(2)f(x)=2x-lnx.分析:先求f'(x),再解不等式f'(x)>0得递增区间,解不等式f'(x)<0得递减区间.解:(1)∵函数f(x)的定义域为R,f'(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1).令

4、4x(x+1)(x-1)>0,解得-11,∴函数f(x)的递增区间是(-1,0)和(1,+∞).令4x(x+1)(x-1)<0,解得x<-1或00(或f'(x)<0),得出相应的x的范围;(4)根据不等式的解集,写出相应结论.探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练1函数y=x2-4x+a的递减区间是.解析:∵y'=(x2-4

5、x+a)'=2x-4,由y'=2x-4<0得x<2,∴函数y=x2-4x+a的递减区间是(-∞,2).答案:(-∞,2)探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练2求下列函数的单调区间:探究一探究二探究三探究四思想方法(2)由ax-x2≥0,得0≤x≤a,即函数的定义域为[0,a].探究一探究二探究三探究四思想方法根据单调性求参数【例2】若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)上是减少的,在区间(6,+∞)上是增加的,试求实数a的取值范围.解:(方法一)∵f'(x)=x2-ax+a-1,令f'(x)=0,解得x=1或x=a-1.当a-1≤1

6、,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上是增加的,不符合题意.当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上是增加的,在(1,a-1)上是减少的,在(a-1,+∞)上是增加的.依题意知,函数f(x)在区间(1,4)上是减少的,在(6,+∞)上是增加的,∴4≤a-1≤6,即5≤a≤7.∴a的取值范围是[5,7].探究一探究二探究三探究四思想方法(方法二)∵f'(x)=x2-ax+a-1,由题意知f'(x)≤0在区间(1,4)上恒成立,f'(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.∴5≤a≤7.故a的取值范围为[5,7].反思感悟已知f(x)在区间(a,b)上的

7、单调性,求参数的方法(1)利用集合的包含关系处理:f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)利用不等式的恒成立处理:f(x)在(a,b)上单调,则f'(x)≥0或f'(x)≤0在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练3已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)上不单调,则实数k的取值范围是.解析:∵f'(x)=3x2-k,由题意知3x2-k=0在(-3,-1)内有解,即k=3x2在(-3,-1)内有解.又∵当x∈(-3,-1)时,3x2∈(3,27),∴k∈(3,27).答案:(3

8、,27)探究一探究二探究三探究四思想方

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