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《高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.2函数的极值课件.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.2函数的极值1.函数的极值的有关概念在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值.在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值.极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.名师点拨1.极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的.极值点是区间内部的点而不会是端点.2.若f(x)在某区间内有极值,则f(x)在该区间内一定不是单
2、调函数,即在区间上单调的函数没有极值.3.可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是极值点,即函数y=f(x)在一点的导数值为零是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件,而不是充分条件.4.可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f'(x)=0,在x0左侧和右侧f'(x)的符号不同.【做一做1】已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图,则()A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点答案:A2.求函数极值点的步骤(1)求出导数f'
3、(x).(2)解方程f'(x)=0.(3)对于方程f'(x)=0的每一个解x0,分析f'(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性),确定极值点:①若f'(x)在x0两侧的符号“左正右负”,则x0为极大值点;②若f'(x)在x0两侧的符号“左负右正”,则x0为极小值点;③若f'(x)在x0两侧的符号相同,则x0不是极值点.名师点拨1.函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.2.当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.3.从曲线的
4、切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.【做一做2】函数f(x)=x3-3x2+7的极大值为.解析:∵f'(x)=3x2-6x,解3x2-6x=0得x=0或x=2.∴f(x)的递增区间为(2,+∞)和(-∞,0),f(x)的递减区间为(0,2).因此当x=0时,函数f(x)=x3-3x2+7取极大值f(0)=7.答案:7思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)任意一个函数f(x)在定义域内必然存在极值.()(2)函数f(x)的极大值一定大于极小值.()(3)
5、可导函数y=f(x)在x=x0处取得极值的充要条件是f'(x0)=0.()(4)函数f(x)在其定义域内可以有多个极小值和极大值.()×××√探究一探究二思维辨析利用导数求函数的极值【例1】求函数y=3x3-x+1的极值.分析:首先对函数求导,然后求方程y'=0的根,再检查y'在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么此处取最大值,如果左负右正,那么此处取极小值.探究一探究二思维辨析解:y'=9x2-1,当x变化时,y'和y的变化情况如下表:探究一探究二思维辨析反思感悟利用导数求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域.(2)求导数f'(x).(3)解方程f'(x)=0得方程的根.(4)利用方程
6、f'(x)=0的根将定义域分成若干个小开区间,列表,判定导函数在各个小开区间的符号.(5)确定函数的极值,若f'(x)的符号在x0处由正(负)变负(正),则f(x)在x0处取得极大(小)值.探究一探究二思维辨析变式训练1判断下列函数是否有极值,如果有极值,请求出其极值;如果无极值,请说明理由.(2)y=f(x)=x
7、x
8、.当x≥0时,y=x2是增加的;当x<0时,y=-x2也是增加的.故函数y=x
9、x
10、无极值.探究一探究二思维辨析已知极值求参数值【例2】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1,(1)求常数a,b,c的值.(2)判断x=±1是函数的
11、极大值点还是极小值点,试说明理由,并求出极值.分析:先求f'(x),再由函数f(x)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1建立关于a,b,c的方程组,求出a,b,c的值,再由判定极值的方法判定其极值情况.探究一探究二思维辨析解:(1)f'(x)=3ax2+2bx+c,∵x=±1是函数f(x)的极值点,∴x=±1是方程f'(x)=0的两根,即3ax2+2bx+c=0的两根.探究一探究二思维辨析当x<
