《3.1.1 导数与函数的单调性》同步练习

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1、《3.1.1导数与函数的单调性》同步练习1．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上(　　)．A．增函数　　　　　　　B．减函数C．有最大值D．有最小值解析　∵f′(x)＝2－cosx>0，∴f(x)是R上的增函数，无最值．答案　A2．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　)．A．f(x)＞0B．f(x)＜0C．f(x)＝0D．不能确定解析　∵f′(x)＞0，∴f(x)在(a，b)内单调递增．∴f(x)＞f(a)≥0，即f(x)＞0.答案　A3．已知函数y＝xf′(x)的图像

2、如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是(　　)．解析　当00，所以f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，2)上为增函数，因此否定A、B、D.答案　C4．函数f(x)＝xlnx(x>0)的单调递增区间是________．解析　由f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1>0，解得x>.故f(x)的单调增区间是.答案　5．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>

3、0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的________条件．解析　f(x)＝x3在(－1，1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1

4、a、b，若a＜b，则必须有(　　)．A．af(b)≤bf(a)B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤f(b)D．bf(b)≤f(a)解析　∵xf′(x)＋f(x)≤0，又f(x)≥0，∴xf′(x)≤－f(x)≤0.设y＝，则y′＝≤0.故y＝为减函数或常数函数．又a0，则af(b)≤bf(a)，故选A.答案　A8．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)．A．(－，0)　　　　　　B．(0，)C．(，)D．(，)解析　∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋

5、4>0.∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数．∵f(－)＝e－－4<0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2<0，f()＝e－2<0，f()＝e－1>0，∴f()·f()<0.答案　C9．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________．解析　∵f′(x)＝，由f′(x)＝＜0得x＜－1或＜x＜2，而函数的定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．答案　(－∞，－1)10．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调递减区间为________．解析　∵f′(x)＝3x2－30x－33＝3

6、(x－11)(x＋1)．令f′(x)<0得－10时，求证：1＋2x0时，e2x>e0＝1，∴f′(x)＝2(1－e2x)<0.∴f(x)＝1＋2x－e2x在(0，＋∞)上是减函数．又f(0)＝1＋2×0－e0＝0，∴f(x)<0，即1＋2x－e2x<0，∴1＋2x

7、ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1是f′(x)＝0的两根．(1)求a，b的值．(2)求f(x)的单调区间．解　(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，又x＝－2和x＝1为f′(x)＝0的两根，所以f′(－2)＝f′(1)＝0，故有解方程组得a＝－，b＝－1.(2)因为a＝－，b＝－1.∴f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)，令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1，当x∈(－2，0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－∞，－2)∪(0，

8、1)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(－2，0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0，1).