《1.3.1函数的单调性与导数》同步练习5

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1、《函数的单调性与导数》同步练习5基础巩固强化1．函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2013，对任意x∈R，都有f′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2009的解集为(　　)A．(－2，2)B．(－2，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，＋∞)2．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的取值范围为________．3．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则f(x＋1)的单调递减区间是________．4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.

2、(1)若f(x)的单调减区间为(－1，1)，则a的取值集合为________．(2)若f(x)在区间(－1，1)内单调递减，则a的取值集合为________．5．求证：方程x－sinx＝0只有一个根x＝0.6．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．答案基础巩固强化1．[答案]　C[解析]　令F(x)＝f(x)－x2－2009，则F′(x)＝f′(x)－2x<0，∴F(x)在R上为减函数，又F(－2)＝f

3、(－2)－4－2009＝2013－2013＝0，∴当x<－2时，F(x)>F(－2)＝0，∴不等式f(x)>x2＋2009的解集为(－∞，－2)．2．[答案]　b<－1或b>2[解析]　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.3．[答案]　(0，2)[解析]　由f′(x)＝x2－4x＋3<0得1

4、){a

5、a<0}[解析]　f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．(1)∵f(x)的单调减区间为(－1，1)，∴－1和1是方程f′(x)＝0的两根，∴＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．(2)∵f(x)在区间(－1，1)内单调递减，∴f′(x)<0在(－1，1)内恒成立，又二次函数y＝f′(x)开口向上，一根为－1，∴必有>1，∴a<0，∴a的取值集合为{a

6、a<0}．[点评]　f(x)的单调减区间为(m，n)，则必有f′(m)＝0，f′(n)＝0或x＝m，x＝n是函数f(

7、x)的不连续点，f(x)在区间(m，n)上单调递减，则(m，n)是f(x)的单调减区间的子集，f′(x)≤0在(m，n)上恒成立．5．[证明]　设f(x)＝x－sinx，x∈(－∞，＋∞)，则f′(x)＝1－cosx＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．而当x＝0时，f(x)＝0，∴方程x－sinx＝0有唯一的根x＝0.6．[解析]　(1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－6x＋3.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>

8、0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；当x∈(－1，＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．(2)由f(2)≥0得a≥－.当a≥－，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3(x2－x＋1)＝3(x－)(x－2)>0，所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.综上，a的取值范围是[－，＋∞)．