2020_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数学案含解析新人教A版选修2_2.doc

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1、1.3　导数在研究函数中的应用1.3.1　函数的单调性与导数内　容　标　准学　科　素　养1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，并能利用单调性证明一些简单的不等式；3.能利用导数求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).加强直观探索提升逻辑推理强化数学运算授课提示：对应学生用书第11页[基础认识]知识点　函数的单调性与导数1．已知函数y1＝，y2＝2x，y3＝x2的图象如图所示．结合图象写出以上三个函数的单调区间．提示：函数y1＝的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，函数y2＝2x的单调递增区间为(－∞，＋∞)，函数y3＝x

2、2的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．2．判断以上三个函数的导数在其单调区间上的正、负．提示：y1′＝－在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为负值；y2′＝2xln2在(－∞，＋∞)上为正值；y3′＝2x在(－∞，0)上为负值，在(0，＋∞)上为正值．　　知识梳理　(1)函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递增f′(x)＜0单调递减提醒：如果函数f(x)在区间(a，b)上恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．(2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地

3、，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值的变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)提醒：导数的绝对值越大，越陡峭．思考：1.若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在定义域上一定单调递减吗？提示：不一定，如函数y＝的导函数y′＝－＜0恒成立，但是函数y＝的图象不是恒下降的．2．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f′(x)＞0恒成立吗？提示：不一定，如函数y＝x3在[－1,3]上单调递增，但是y′＝3x2在x＝0处的值为0.3．函数在区间(a，b)上的导数与单调性的关系是怎样的？提示：(1)若在某区

4、间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.4．利用导数解决单调性问题需注意哪些问题？提示：(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．[自我检测]1．设y＝x－lnx，则此函数在区间(0,1)内为(　　)A．单调递增B．有增有

5、减C．单调递减D．不确定解析：y′＝1－，当x∈(0,1)时，y′＜0，则函数y＝x－lnx在区间(0,1)内单调递减．故选C.答案：C2．已知e为自然对数的底数，函数y＝xex的单调递增区间是(　　)A．[－1，＋∞)B．(－∞，－1]C．[1，＋∞)D．(－∞，1]解析：f(x)＝xex⇒f′(x)＝ex(x＋1)，令f′(x)＞0⇒x＞－1，所以函数f(x)的单调递增区间是[－1，＋∞)．故选A.答案：A3．若f(x)＝－x2＋blnx在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．解析：由题，则f′(x)＝≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即b≤x2在x∈(1，＋∞

6、)上恒成立．因为x2＞1，所以b≤1.答案：(－∞，1]授课提示：对应学生用书第11页探究一　导数与函数图象的关系[例1]　(1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)(2)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)(3)函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)＜0的解集为________．[解析]　(1)由当f′(x)＜0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y＝f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减

7、，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且f′(0)＞0，所以在x＝0附近函数应单调递增，排除B.(2)当x＞0时，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零⇒f′(x)≥0在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上递增，当x≤0时，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上递减，只有D满足．(3)函数y＝f(x)在区间和区间(2,3)上单调递减，所以在区间和区间(2,3)上，y＝f′(x)＜0，所以f′(x)＜0