2020_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数学案含解析新人教A版选修2_2.doc

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1、1.3.2　函数的极值与导数内　容　标　准学　科　素　养1.了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活运用；2.掌握函数极值的判定及求法；3.会根据函数的极值求参数.加强直观探索熟练数形结合提升数学运算授课提示：对应学生用书第13页[基础认识]知识点一　函数的极值在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山之中的最高处，但它却是其附近所有点的最高点．同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近所有点的最低点．假设如图是群山中各个山峰的一部分图象，观察如图中P点附近图象从左到右的变化趋势，P点的函数值以及点P位置各有什么特点？实例中P点，Q点的函数

2、值与其附近的函数值有何关系？提示：点P附近的函数值都小于点P处的函数值，点Q附近的函数值都大于点Q处的函数值．　知识梳理　函数的极值(1)极小值：如果函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值：如果函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，

3、f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值和极小值统称为极值．知识点二　函数极值的求法　知识梳理　一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．思考：1.极大值是不是一定大于极小值？提示：极大值是比它附近的函数值都大的函数值，极小值是比它附近的函数值都小的函数值，所以极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．函数的极值与极值点之间的关系是什么？提示：函数的极值点是指函数取得极值时对应

4、点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标．3．导数值为零的点一定是函数的极值点，这种说法正确吗？提示：不正确，如y＝x3，当x＝0时，y′＝3x2＝0，而函数在x＝0两侧导数符号不变化，即函数单调性不变，故x＝0不是函数的极值点．[自我检测]1．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值，极小值分别为(　　)A.，0B．0，C．－，0D．0，－解析：f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0，得解得所以f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当

5、x＝时，f(x)取极大值.当x＝1时，f(x)取极小值0.答案：A2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)A．－9B．－2C．4D．2解析：因为f(x)＝x3－12x，所以f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，所以当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以当x＝2时，f(x)有极小值，即函数的极小值点为2，所以a＝2.答案：D3．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取

6、得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.答案：－19授课提示：对应学生用书第14页探究一　求函数的极值(点)[例1]　求下列函数的极值：(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝.[解析]　(1)f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.令f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0－0＋0＋f(x)无极值极小值0无极值所以当x＝0时，f(x)有极小值且f(x)极小值＝0，无极大值．(2)函数f(x)＝的定义域

7、为(0，＋∞)，且f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增单调递减因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．方法技巧　函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；