2020_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数跟踪训练含解析新人教A版选修2_220210204275.doc

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1、函数的极值与导数[A组　学业达标]1．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极值10，则a，b的值为(　　)A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝2或a＝－4，b＝11C．a＝－4，b＝11D．以上都不对解析：f′(x)＝3x2－2ax－b，f′(1)＝0，即2a＋b＝3，①f(1)＝a2－a－b＋1＝10，即a2－a－b＝9，②解由①②组成的方程组，得a＝－4，b＝11(有极值)或a＝3，b＝－3(无极值，舍去)．答案：C2．已知函数f(x)＝x3－x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c的值为(　　)A．－或B．－3或1C．－或D．－1或解析：f′(x)＝x

2、2－1＝(x＋1)(x－1)，当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)＋c－＋cf(－1)＝＋c，f(1)＝－＋c，因为函数f(x)＝x3－x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，所以＋c＝0或－＋c＝0，所以c＝－或c＝.答案：C3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则(　　)A．a＜－1B．a＞－1C．a＜1D．a＞1解析：因为y′＝ex＋a，所以由y′＝0，得ex＝－a，设函数的极值点为x0(x0＞0)，则－a＝ex0＞1，所以a＜－1.故选A.答案：A4．设a∈R，若函数y＝f(x)＝

3、x＋alnx在区间有极值点，则a取值X围为(　　)A.B.C.∪(e，＋∞)D．(－∞，－e)∪解析：f′(x)＝1＋(x＞0)，f′(x)为单调函数，所以函数在区间有极值点，即f′f′(e)＜0，代入得(1＋ae)·＜0⇒a2＋a＋1＜0⇒(a＋e)＜0，解得a取值X围为－e＜a＜－.答案：B5．若函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝x3ex，f(1)＝0，则当x＞0时，f(x)(　　)A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值解析：由题设知，当x＞0时，′＝＝＝xex，可得＝(x－1)ex＋C(C为常数)，又f(1)＝0，得C＝0，所

4、以f(x)＝x(x－1)ex.又f′(x)＝(x2＋x－1)ex，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝(舍去)．所以当x＞0时，x∈时，f′(x)＜0，x∈时，f′(x)＞0，所以当x＞0时，f(x)有极小值f，无极大值．答案：B6．若函数f(x)＝在x＝a处有极小值，则实数a等于________．解析：函数f(x)＝在x＝a处有极小值，得x＝a是极值点，所以f′(a)＝0，由f′(x)＝，代入a解得a＝1.答案：17．若函数f(x)＝x2＋alnx在区间(1，＋∞)上存在极小值，则实数a的取值X围为________．解析：因为f(x)＝x2＋alnx，所以f′(x)＝2x＋＝，当a≥0时，无极

5、值，所以a＜0，当a＜0时，x＝是f(x)的极值点，因为f(x)在(1，＋∞)上存在极小值，所以＞1，得a＜－2.答案：(－∞，－2)8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．解析：求导得f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝2处取极值，所以f′(2)＝3·22＋6a·2＋3b＝0，即4a＋b＋4＝0，①又因为图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，所以f′(1)＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0，②联立①②可得a＝－1，b＝0，所以

6、f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当f′(x)＞0时，x＜0或x＞2；当f′(x)＜0时，0＜x＜2，所以函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0,2)，因此求出函数的极大值为f(0)＝c，极小值为f(2)＝c－4，故函数的极大值与极小值的差为c－(c－4)＝4.答案：49．设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解析：(1)因为f(x)＝alnx＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0

7、，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x＞0)，f′(x)＝－－＋＝＝令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定义域内，舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.10．已知函数f(x)