2019-2020年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数练习含解析新人教A版选修

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1、2019-2020年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数练习含解析新人教A版选修一、选择题1.已知函数y=x-ln(1+x2),则函数y的极值情况是(  )A.有极小值B.有极大值C.既有极大值又有极小值D.无极值【答案】 D【解析】 ∵y′=1-(x2+1)′=1-=令y′=0得x=1,当x>1时,y′>0,当x<1时,y′>0,∴函数无极值,故应选D.2.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C【解析】 只有这

2、一点导数值为0,且两侧导数值异号才是充要条件.3.函数f(x)=x+的极值情况是(  )A.当x=1时,极小值为2,但无极大值B.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值C.当x=-1时,极小值为-2;当x=1时,极大值为2D.当x=-1时,极大值为-2;当x=1时,极小值为2【答案】 D【解析】 f′(x)=1-,令f′(x)=0,得x=±1,函数f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,∴当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2.4.下列函数中,x=0是极值点的是(  )

3、A.y=-x3B.y=cos2xC.y=tanx-xD.y=【答案】 B【解析】 y=cos2x=,y′=-sin2x,x=0是y′=0的根且在x=0附近,y′左正右负,∴x=0是函数的极大值点.5.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(  )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 A【解析】 由f′(x)的图象可知,函数f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再减,故函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点.6.已知函数

4、f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则函数f(x)的极值是(  )A.极大值为,极小值为0B.极大值为0,极小值为C.极大值为0,极小值为-D.极大值为-,极小值为0【答案】 A【解析】 由题意得,f(1)=0,∴p+q=1①f′(1)=0,∴2p+q=3②由①②得p=2,q=-1.∴f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),令f′(x)=0,得x=或x=1,极大值f=,极小值f(1)=0.二、填空题7.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=-1处有极大值,在x=3处

5、有极小值,则a=______,b=________.【答案】 -3-9【解析】 y′=3x2+2ax+b,方程y′=0有根-1及3,由韦达定理应有8.已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有相异三个公共点,则a的取值范围是________.【答案】 (-2,2)【解析】 令f′(x)=3x2-3=0得x=±1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,y=f(x)的大致图象如图观察图象得-2

6、2)讨论函数f(x)的极大值或极小值,如有试写出极值.【解析】 f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3.x变化时,f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f′(x)+0-0+f(x)增极大值f(-1)减极小值f(3)增(1)由表可得函数的递减区间为(-1,3);(2)由表可得,当x=-1时,函数有极大值为f(-1)=16;当x=3时,函数有极小值为f(3)=-16.10.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1

7、处取得极值.(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.【解析】 (1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,即解得a=1,b=0.∴f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).令f′(x)=0,得x1=-1,x2=1.若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则f′(x)>0,故f(x)在(-∞,-1)上是增函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数.若x∈(-1,1),则f′(x)<0,故f(x)

8、在(-1,1)上是减函数.∴f(-1)=2是极大值;f(1)=-2是极小值.(2)曲线方程为y=x3-3x.点A(0,16)不在曲线上.设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0=x-3x0.∵f′(x0)=3(x-1),故切线的

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