高中数学 专题1.3.2 函数的极值与导数练习（含解析）新人教a版选修2-2

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1、函数的极值与导数1．函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】　A【解析】　当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)A．－12D．a<－3或a>6【答案】　D3．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的(　　

2、)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】　C【解析】　只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．4．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(　　)A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值【答案】　D【解析】　∵y′＝1－(x2＋1)′＝1－＝令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，当x<1时，y′>0，∴函数无极值，故应选D.5．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)A．2B．3C．6D．9

3、【答案】　D【解析】　f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴2≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.6．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点【答案】　D7．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小

4、值为____________．【答案】　a＋4　a－4【解析】　y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)，令y′>0，得x>或x<－，令y′<0，得－

5、的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.9．已知f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值．x(－∞，－m)－mmf′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，∴m＝1.10．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？【解析】　(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.当x变化时，f

6、′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x

7、)极小值>0，即＋a<0或a－1>0，∴a<－或a>1，∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．