2020版高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数练习（含解析）新人教A版

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1、1.3.2　函数的极值与导数课时过关·能力提升基础巩固1.设函数f(x)=xex,则(　　)A.x=1是f(x)的极大值点B.x=1是f(x)的极小值点C.x=-1是f(x)的极大值点D.x=-1是f(x)的极小值点答案:D2.当函数f(x)=-13x3+12x2+2x取极小值时,x的值是(　　)A.2B.2,-1C.-1D.-3解析:f'(x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),则在区间(-∞,-1)和(2,+∞)内,f'(x)<0,在区间(-1,2)内,f'(x)>0,故当x=-1时,f(x)取极小值

2、.答案:C3.已知函数f(x)=x3-3bx+3b在区间(0,1)内有极小值,则(　　)A.00D.b<12解析:f'(x)=3x2-3b.要使f(x)在区间(0,1)内有极小值,又f'(x)的图象关于y轴对称,则f'(x)在(0,1)内由负变正,即f'(0)<0,f'(1)>0,即-3b<0,3-3b>0,解得0

3、D.(a+b,c)解析:f'(x)=3ax2+2bx+c.由题意知x=1和x=-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根,则1-1=-2b3a,得b=0.答案:A5.若函数f(x)=x2+ax+1在x=1处取得极值,则a=　　　　　. 解析:f'(x)=2x(x+1)-(x2+a)(x+1)2=x2+2x-a(x+1)2.由f'(1)=3-a4=0,得a=3.经检验,a=3满足题意.答案:36.函数y=lnx-x2的极值点为　　　　　. 解析:函数y=lnx-x2的定义域为(0,+∞),其导函数为y'=1x-2x

4、=1-2x2x.由y'=1-2x2x=0,解得x=22.当x>22时,y'<0;当00.所以当x=22时,函数y=lnx-x2取得极大值,所以所求极值点为22.答案:227.若函数f(x)=alnx+bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2,则a=　　　　,b=　　　　. 解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax+2bx+3=2bx2+3x+ax.因为函数f(x)的极值点为x1=1,x2=2,所以x1=1,x2=2是方程f'(x)=2bx2+3x+ax=0的两个根,即为方程2b

5、x2+3x+a=0的两根.所以由根与系数的关系知-32b=1+2,a2b=1×2,解得a=-2,b=-12.答案:-2　-128.已知函数y=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3.(1)求a,b的值;(2)求函数y的极小值.分析:解决本题的关键是运用待定系数法求得a,b的值,进而可求函数y的极小值.解:(1)y'=3ax2+2bx.当x=1时,y'

6、x=1=3a+2b=0.由题意得a+b=3.故3a+2b=0,a+b=3,解得a=-6,b=9.经检验知,符合题意.故a=-6,b=9.(2)由(1),得y=-6

7、x3+9x2,则y'=-18x2+18x.令y'=0,得x=0或x=1.易知x=0是函数的极小值点,所以y极小值=0.9.求函数f(x)=x3-22(x-1)2的极值.分析:首先确定函数f(x)的定义域,然后正确求导,解方程f'(x)=0.进而列表求极值.解:函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).f'(x)=(x-2)2(x+1)2(x-1)3,令f'(x)=0,得x1=-1,x2=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)(1,2)2(2,+∞)f'(x

8、)+0-+0+f(x)↗-38↘↗3↗故当x=-1时,函数f(x)有极大值,极大值为f(-1)=-38,f(x)无极小值.能力提升1.下列函数存在极值的是(　　)A.f(x)=1xB.f(x)=x-exC.f(x)=x3+x2+2x-3D.f(x)=x3解析:A项中,f'(x)=-1x2,令f'(x)=0无解,故A项中的函数无极值;B项中,f'(x)=1-ex,令f'(x)=0,得x=0.当x<0时,f'(x)>0,当x>0时,f'(x)<0.故f(x)在x=0处取极大值,f(0)=-1;C项中,f'(x)=3

9、x2+2x+2,Δ=4-24=-20<0,故f(x)无极值.同理D项也无极值.故选B.答案:B2.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数图象如图所示,则函数f(x)的极小值是(　　)A.a+b+cB.8a+4b+cC.3a+2bD.c解析:由题图可知函数f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,2)内单调递增,所以函数f(x)在x=0处取得极小值c.答案:D3.已知函数f(x)