高中数学第三章导数应用3.1.1导数与函数的单调性学业分层测评含解析北师大版选修.doc

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1、3.1.1导数与函数的单调性(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.函数y＝x＋xlnx的单调递减区间是(　　)A.(－∞，e－2)B.(0，e－2)C.(e－2，＋∞)D.(e2，＋∞)【解析】　因为y＝x＋xlnx，所以定义域为(0，＋∞).令y′＝2＋lnx<0，解得0

2、4，5)上f(x)是增函数D.在区间(3，5)上f(x)是增函数【解析】　由导函数f′(x)的图像知在区间(4，5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4，5)上单调递增.故选C.【答案】　C3.若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则(　　)A.a≤0B.a<1C.a<2D.a≤【解析】　f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.【答案】　A4.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.

3、(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)【解析】　构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数.∴f(x)>2x＋4⇔g(x)>0⇔g(x)>g(－1)，∴x>－1.【答案】　B5.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)A.(－∞，－)∪[，＋∞)B.[－，]C.(－∞，－)∪(，＋∞)D.(－，)【解析】　f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－≤a≤.【答

4、案】　B二、填空题6.函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调递增区间为__________.【解析】　令f′(x)＝1－2cosx>0，则cosx<，又x∈(0，π)，解得0，得a2>1，解得a<－1或a>1.【答案】　(－∞，－1)∪(1，＋∞)8.若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________.【解析

5、】　若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.【答案】　(0，＋∞)三、解答题9.(2016·吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：①f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，0)上是减函数；②f(x)的导函数是偶函数；③f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直.求函数y＝f(x)的解析式.【解】　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，因为f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，0)上是减函数，所以f′(－1)＝3a－2b＋c＝0.①由f(x)的导函数是偶函数

6、，得b＝0，②又f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f′(0)＝c＝－1，③由①②③得a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3.10.若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9，0)，求m的值及函数的其他单调区间.【解】　因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9，0)，即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.由根与系数的关系，得－＝－9，即m＝－.所以f′(x)＝3x2＋27x.令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.故(－∞，－9

7、)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间.综上所述，m的值为－，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞).[能力提升]1.已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像如图315所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是(　　)图315【解析】　由题图，知函数g′(x)为增函数，f′(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在减小.又由f′(x0)＝g′(x0)，知选D.【答案】　D2.设f(x)