2019_2020学年高中数学第一章数列1.3.2第2课时数列求和学案含解析北师大版必修5.doc

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1、第2课时　数列求和内　容　标　准学　科　素　养1.掌握把非等差、等比数列问题转化为等差、等比数列解决的方法(分组转化法、裂项相消法).2.掌握数列求和的常用方法——错位相减法.3.掌握等差、等比数列及前n项和的综合应用.加强方法归纳提升数学运算灵活综合应用授课提示：对应学生用书第26页[基础认识]知识点一　分组分解求和法思考并完成以下问题求和：1＋2＋3＋…＋.提示：1＋2＋3＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝＋1－.知识梳理　分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和．知识点二　奇偶并项求和法思考

2、并完成以下问题求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.提示：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5050.知识梳理　奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论．知识点三　裂项相消求和法思考并完成以下问题我们知道＝－，试用此公式求和

3、：＋＋…＋.提示：由＝－得＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝(n∈N＋)．知识梳理　如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消法求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式：(1)＝；(2)＝(－)；(3)＝；(4)＝.[自我检测]1．数列{2n－1＋1}的前n项和为________．解析：设数列{2n－1＋1}的前n项和为Sn，则Sn＝1＋1＋2＋1＋22＋1＋23＋1＋…＋2n－1＋1＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋(1＋1＋…＋1)＝＋n＝2n＋n－1.答案：2n＋n－12．数列的前2019项和为

4、________．解析：设数列的前n项和为Sn，∵an＝＝2∴Sn＝2＝2＝，∴S2019＝＝＝.答案：3．已知数列an＝则S100＝________．解析：S100＝a1＋a2＋a3＋…＋a100＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100＝2·2(1＋2＋…＋49)＋100＝4·＋100＝5000.答案：5000授课提示：对应学生用书第26页探究一　分组转化法求数列的和[例1]　已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{c

5、n}的前n项和．[解析]　(1)等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27.设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1(n＝1，2，3，…)．(2)由第(1)问知，an＝2n－1，bn＝3n－1.因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.方法技巧　如果一个数列的通项公式可写成cn＝an±bn的形式，而数列{an}，{bn}是等差数列或等比数列或

6、可转化为能够求和的数列，那么可采用分组转化法求和．跟踪探究　1.Sn＝3＋33＋333＋…＋＝________．解析：数列3，33，333，…，的通项公式an＝(10n－1)．所以Sn＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)＝(10＋102＋…＋10n)－＝×－＝(10n－1)－.答案：(10n－1)－探究二　错位相减法求数列的和[例2]　已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝a1b1＋a2b2

7、＋…＋anbn，n∈N＋，证明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N＋，n≥2)．[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由条件，得方程组解得所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N＋.(2)证明：由(1)得Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1.②由①－②，得－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝－(3n－1)×

8、2n＋1－2＝－(3n－4)×2n＋1－8，∴Tn＝(3n－4)×2n＋1＋8∴Tn－8＝(3n－4)×2n＋1.而当n≥2时，an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1，所以Tn－8＝an－1bn＋1，n∈