2019_2020学年高中数学第一章数列1.3.1第2课时等比数列的性质学案含解析北师大版必修5.doc

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1、第2课时　等比数列的性质内　容　标　准学　科　素　养1.理解等比数列的单调性与首项a1及公比q的关系，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.2.掌握等比中项的概念，会求同号两数的等比中项.3.掌握等比数列的有关性质，并能综合应用解决有关问题.加强定义理解精确性质应用提升数学运算授课提示：对应学生用书第20页[基础认识]知识点一　等比数列的单调性预习教材P23－25，思考并完成以下问题观察下面几个等比数列中项的变化趋势，指出它们的单调性．(1)－1，－，－，－，－，…(2)9，3，1，，，…(3)－1，－2，－4，－8，－16，…(4)1，－，

2、，－，，…(5)2，2，2，2，2，…提示：(1)项是增加的，且a1＜0，0＜q＜1，是单调递增数列．(2)项是减小的，且a1＞0，0＜q＜1，是单调递减数列．(3)项是减小的，且a1＜0，q＞1，是单调递减数列．(4)项是摆动的，a1＞0，q＜0，不是单调数列．(5)项是不变的，a1＞0，q＝1，是常数列．知识梳理　等比数列的单调性公比q单调性首项a1q＜00＜q＜1q＝1q＞1a1＞0不具备单调性递减数列不具备单调性递增数列a1＜0不具备单调性递增数列不具备单调性递减数列知识点二　等比中项思考并完成以下问题1．在2，8之间插入一个数，使之成

3、等比数列．这样的实数有几个？提示：设这个数为G，则＝，G2＝16，G＝±4，所以这样的数有2个．2．若a，G，b成等比数列，能得出什么结论？提示：因为a，G，b成等比数列，所以＝，所以G2＝ab.知识梳理　1.等比中项的概念如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项．2．等比中项与等差中项的异同，对比如下表对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项若a，G，b成等比数列，则G叫作a，b的等比中项定义式A－a＝b－A＝公式A＝G

4、＝±个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab＞0时，a与b才有等比中项知识点三　等比数列的性质思考并完成以下问题给出以下两个等比数列{an}．①1，2，4，8，…；②1，－3，9，－27，….(1)在上述每一个数列中，请你计算a2·a6与a3·a5的值，看它们有什么关系？若计算a1·a5与a2·a4呢？提示：a2·a6＝a3·a5；a1·a5＝a2·a4.(2)在上述每一个数列中，a2·a6；a3·a5的值与a4的值有什么关系？a1·a5；a2·a4与a3的值呢？提示：a2·a6＝a

5、3·a5＝a；a1·a5＝a2·a4＝a.知识梳理　类比等差数列的性质得出等比数列的一些性质如下：若数列{an}是公比为q的等比数列，则(1)an＝amqn－m(m，n∈N＋)．(2)若m＋n＝s＋t＝2k(m，n，s，t，k∈N＋)，则am·an＝as·at＝a.(3){c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列．(4){

6、an

7、}是公比为

8、q

9、的等比数列．(5)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2且项数相同的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．[自我检测]　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．等比数列{a

10、n}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　)A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：由于公比q＝－＜0，所以数列{an}是摆动数列．答案：D2．2＋和2－的等比中项是(　　)A．1B．－1C．±1D．2解析：设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.答案：C3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于______．解析：由a5＝a2·q3，得q3＝＝＝，所以q＝.答案：授课提示：对应学生用书第21页探究一　等比数列的性质[例1]　已知{an}为等比数列．(1)若an＞0，a2a4＋2a

11、3a5＋a4a6＝25.求a3＋a5.(2)若an＞0，a5a6＝9.求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．[解题指南]　(1)由等比数列性质得a2a4＝a，a4a6＝a，从而得解．(2)由等比数列性质得a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6，从而进行求解．[解析]　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，∵an＞0，∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝

12、95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.方法技巧　等比数列的常用性质性质1：通项