2019_2020学年高中数学第一章数列1.3.2第1课时等比数列的前n项和学案含解析北师大版必修5.doc

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1、3.2　等比数列的前n项和第1课时　等比数列的前n项和内　容　标　准学　科　素　养1.学会推导等比数列前n项和的方法.2.掌握等比数列的前n项和公式，学会应用其解决问题.严格分类讨论提升数学运算抽象数学模型授课提示：对应学生用书第22页[基础认识]知识点一　等比数列的前n项和预习教材P26－29，思考并完成以下问题1．对于数列1，2，22，23，…，2n，……(1)该数列的首项和公比分别是多少？提示：首项为1，公比为2.(2)把该数列的前n项和Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1①两边同乘以公比2得：2Sn＝2

2、＋22＋23＋…＋2n②这两个等式的右边有何相同点？若用②式减去①式，会有什么结果？提示：两个等式的右边除首项与末项不同外，其余各项均相同，若用②式减去①式会把这些相同的项全部消掉，求得Sn＝2n－1.2．对和式Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1(q≠1)按1(2)的方法处理会怎样呢？提示：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，③qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，④④－③得：(q－1)Sn＝a1(qn－1)，由q≠1得Sn＝.知识梳理　等比数列的前n项和公式已知量首项、

3、公比与项数首项、末项与公比公式Sn＝Sn＝知识点二　等比数列前n项和的性质思考并完成以下问题1．在等差数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列吗？提示：是的．2．若数列{an}为等比数列，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，成等比数列吗？提示：a3＋a4＝q2(a1＋a2)，a5＋a6＝q2(a3＋a4)，所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列．3．若数列{an}为等比数列，a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列吗？提示：是的．4．仿照问题1，在等比

4、数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是否成等比数列．提示：成等比数列．知识梳理　类比等差数列前n项和的性质，等比数列前n项和的性质总结如下：(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…均不为0)．(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N＋)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0

5、，q≠0，q≠1，n∈N＋)数列{an}为等比数列．[自我检测]1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为(　　)A．63B．64C．127D．128解析：∵a5＝a1·q4，∴q＝±2.∵q＞0.∴q＝2，∴S7＝＝＝127，故选C.答案：C2．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝(　　)A．－3B．－4C．3或－4D．－3或4解析：∵S3＝＝＝26.∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4，故选C.答案：C3．等比数列{an}共有2n项，它的全

6、部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇，由题意S偶＋S奇＝3S奇，即S偶＝2S奇，因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝＝2.答案：2授课提示：对应学生用书第23页探究一　等比数列前n项和的计算[阅读教材P27例5及解答](1)已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，求S3.(2)求等比数列1，，，，…的前10项的和．题型：等比数列前n项和的计算．方法步骤：(1)明确首项

7、a1，公比q以及项数n；(2)直接使用等比数列的前n项和公式求解．[例1]　求下列等比数列前8项的和．(1)，，，…；(2)a1＝27，a9＝，q＜0.[解析]　(1)因为a1＝，q＝，所以S8＝＝.(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.又由q＜0.可得q＝－，所以S8＝＝＝＝.方法技巧　等比数列前n项和计算的注意事项(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前

8、n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．跟踪探究　1.(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求an和Sn.(2)在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.解析：(1)设{an}的公比为q，由题意得解得或.当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)，当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1