2020版高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和（第1课时）等比数列前n项和公式学案（含解析）新人教B版必修5

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1、第1课时　等比数列前n项和公式学习目标　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.知识点一　等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式Sn＝Sn＝知识点二　错位相减法1．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．2．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，也可以用这种方法．思考　如果Sn＝a1

2、＋a2q＋a3q2＋…＋anqn-1，其中{an}是公差为d的等差数列，q≠1.两边同乘以q，再两式相减会怎样？答案　Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn-1，①qSn＝a1q＋a2q2＋…＋an－1qn-1＋anqn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1＋(a2－a1)q＋(a3－a2)q2＋…＋(an－an－1)qn-1－anqn＝a1＋d(q＋q2＋…＋qn-1)－anqn.同样能转化为等比数列求和．知识点三　使用等比数列求和公式时注意事项(1)一定不要忽略q＝1的情况；(2)知道首项a1、公比q和项

3、数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q，可以用Sn＝；(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．1．在等比数列{an}中，a1＝b，公比为q，则前3项和为.(　×　)2．求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法．(　√　)3.＝.(　√　)4．等比数列前n项和Sn不可能为0.(　×　)题型一　等比数列前n项和公式的直接应用例1　求下列等比数列前8项的和：(1)，，，…；(2)a1＝27，a9＝，q<0.解　(1)因为a1＝，q＝，所以S

4、8＝＝.(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.又由q<0，可得q＝－，所以S8＝＝＝＝.反思感悟　求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．跟踪训练1　(1)求数列{(－1)n＋2}的前100项的和；(2)在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，求此数列的项数．解　(1)方法一　a1＝(－1)3＝－1，q＝－1.∴S100＝＝0.方法二　数列{(－1)n+2}为－1,1，－1,1，…，∴S100＝50×(－1＋1)＝0.(2)设此数列的公比为q(易知

5、q≠1)，则解得故此数列共有5项．题型二　等比数列基本量的计算例2　在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.解　由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，q＝1，a3＝a1＝2.若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S3＝＝＝6，解得q＝－2(q＝1舍去)．此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.反思感悟　(1)an＝a1qn-1，Sn＝两公式共有5个量．解题时，有几个未知量，就应列几个方程求解．(2)当q＝1时，等比数列是常数列

6、，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．跟踪训练2　已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.答案　63解析　∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且{an}是递增数列，∴a1＝1，a3＝4，则q＝2，因此S6＝＝63.题型三　利用错位相减法求数列的前n项和例3　求数列的前n项和．解　设Sn＝＋＋＋…＋，则有

7、Sn＝＋＋…＋＋，两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－，即Sn＝－＝1－－.∴Sn＝2－－＝2－(n∈N＋)．反思感悟　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．解　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn+1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn+1

8、＝－nxn+1，∴Sn＝－.综上可得，Sn＝分期付款模型典例　小华准备购买一部售价为5000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)解　方法一　设小华每期付款x元，第