2020版高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和（第2课时）等比数列前n项和的性质及应用学案（含解析）新人教B版必修5

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1、第2课时　等比数列前n项和的性质及应用学习目标　1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.知识点一　等比数列前n项和公式的函数特征当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．知识点二　等比数列前n项和的性质等比数列{an}前n项和的三个常用性质(1)若数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍构成等比数列．(2)若{an}是公

2、比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋)．(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．1．等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.(　√　)2．若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.(　√　)3．若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.(　√　)4．等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{S

3、n}也是递增数列．(　×　)题型一　等比数列前n项和公式的函数特征应用例1　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2(n∈N＋)．求{an}的通项公式．解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n-1－2)＝2·3n-1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．∴an＝反思感悟　(1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．跟踪训练1　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n-1＋t，则

4、t＝________.答案　－解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.题型二　等比数列前n项和的性质命题角度1　连续n项之和问题例2　已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．证明　方法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．当q≠1时，Sn＝(

5、1－qn)，S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．又Sn(S2n＋S3n)＝2(1－qn)(2－q2n－q3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．方法二　根据等比数列的性质有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n

6、)．反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．跟踪训练2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解　因为S2n≠2Sn，所以q≠1，由已知得②÷①得1＋qn＝，即qn＝.③将③代入①得＝64，所以S3n＝＝64×＝63.命题角度2　不连续n项之和问题例3　一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项

7、公式．解　设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶，∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝.又a1·a1q·a1q2＝64，∴a·q3＝64，得a1＝12.故所求通项公式为an＝12×n-1，n∈N＋.反思感悟　注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快．跟踪训练3　设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则＝________.答案　126解析　∵，∴{}是首项为b2，公比为

8、2的等比数列．∴＝＝126.等比数列前n项和的分类表示典例　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝3an，n∈N＋.求{an}的前n项和Sn.解　由an