高中数学第2章数列2.3.2等比数列的前n项和（第2课时）等比数列前n项和的性质及应用学案新人教B版

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1、第2课时　等比数列前n项和的性质及应用学习目标核心素养1.掌握等比数列前n项和的性质的应用．(重点)2．掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点)3．能用分组转化方法求数列的和．(重点、易错点)1.通过等比数列前n项和性质的学习，体现了学生的逻辑推理素养．2．借助等差、等比数列求和的综合应用，考查学生的数据分析素养.等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则①Sn＋m＝Sn＋qnSm.②在等比数列中，若项数为

2、2n(n∈N＋)，则＝q.③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于(　　)A．31　　B．33C．35D．37B　[根据等比数列性质得＝q5，∴＝25，∴S10＝33.]2．已知等比数列{an}的公比q＝，则＝________.3　[∵q＝＝＝＝，∴＝＝3.]3．等比数列{an}的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________.210　[法一：由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，故(S10－S5)2＝

3、S5(S15－S10)，即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.法二：设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，则由①÷②得1＋q5＝5，所以q5＝4，代入①得＝－，所以S15＝＝－×(1－43)＝210.]等比数列前n项和Sn的函数特征【例1】　设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N＋)，则f(n)等于(　　)A．(8n－1)B．(8n＋1－1)C．(8n＋2－1)D．(8n＋3－1)[解析]　f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1＝＝(8n＋1－1)．[答案]　B数列是一个特殊的函数，数列的通项

4、公式和数列前n项和公式都是关于n的函数．所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法．1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.－　[显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.]等比数列前n项和性质的应用【例2】　已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．[证明]　法一：设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，

5、Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．当q≠1时，Sn＝(1－qn)，S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．法二：根据等比数列性质，有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，S

6、n(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．2．在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.[解]　法一：因为S2n≠2Sn，所以q≠1，由已知得②÷①得1＋qn＝，即qn＝，　　③将③代入①得＝64，所以S3n＝＝64×＝63.法二：∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)

7、，∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.等差、等比数列的性质应用对比[探究问题]1．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝6，则an＝________；若将{an}改为等比数列，则an＝________.[提示]　法一：若{an}为等差数列，则解得a1＝－14，d＝4，所以an＝4n－18，若{an}为等比数列，则解得a1＝－6，q＝－1，所以an＝－6·(－1)n－1＝6(－1)n.法二：若{an}为等差数列，由6＝－6＋3d得d＝4，所以an＝－6＋(n－3)×4，即an＝4n－18.若{an}为等比数列，由6＝(－6)·q3得q＝－1

8、，所以an＝(－6)·(－1)n－3＝6·(－1)n.2．在1和16之间插入三个正数a，b，c使1，a，b，c,16成等比数列，则a＋b＋c＝________，a·