2019_2020学年高中数学第2章数列2.3.2等比数列的前n项和（第1课时）等比数列的前n项和学案新人教B版

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1、第1课时　等比数列的前n项和学习目标核心素养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2．会用错位相减法求数列的和．(难点)3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.1.通过等比数列前n项和公式的学习，考查学生的直观想象的素养．2．借助错位相减法求数列的和的方法，提升学生的数学运算素养.等比数列的前n项和公式思考：等比数列求和应注意什么？[提示]　公比q是否等于1.1．在公比为整数的等比数列{an}中，a1－a2＝3，a3＝4，则{an}的前5项和为(　　)A．10　　B．C．11D．12C　[

2、设公比为q(q∈Z)，则a1－a2＝a1－a1q＝3，a3＝a1q2＝4，求解可得q＝－2，a1＝1，则{an}的前5项和为＝11.]2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝(　　)A．3B．4C．D．C　[易知等比数列{an}的首项为a1，则＝＝.]3．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________.3或－4　[∵S3＝＝＝26，∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4.]4．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝________.4　[由S5＝＝44，得a1

3、＝4.]等比数列前n项和公式基本量的运算【例1】　在等比数列{an}中．(1)若q＝2，S4＝1，求S8；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.[解]　(1)法一：设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，∴＝1，即a1＝，∴S8＝＝＝17.法二：∵S4＝＝1，且q＝2，∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝，∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×3＝1，S5＝＝＝.1．解答关于等比数列的

4、基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解．2．运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．1．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn.(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.[解]　(1)由题意知解得或从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.(2)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以①÷②得＝，解

5、得q＝±2，所以或所以an＝或an＝.等比数列前n项和的综合应用【例2】　借贷10000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借货后笫二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061,1.015≈1.051)?[解]　法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01

6、＋…＋1.015)a．由题意，可知a6＝0，即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，a＝.因为1.016≈1.061，所以a≈≈1739(元)．故每月应支付1739元．法二：一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还货a元，分6个月还清，到货款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝＝a(1.016－1)×102(元)．由S1＝S2，得a＝≈1739(

7、元)．故每月应支付1739元．解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．2．一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？[解]　用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝

8、的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.故这个热气球上升的高度不可能超过125m.错位相减法求和[探究问题]1．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？[提示]　由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·