2020_2021学年高中数学第2章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学案新人教A版必修5.doc

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1、第1课时 等比数列的前n项和学习目标核心素养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.(重点)2.会用错位相减法求数列的和.(重点)3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.1.通过等比数列前n项和的实际应用,培养数学建模素养.2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用,培养数学运算素养.1.等比数列前n项和公式思考:类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数,如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?[提示] 可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数.2.错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法一般地,等比数列{an}的前n项和可写为:Sn=a1+

2、a1q+a1q2+…+a1qn-1,①用公比q乘①的两边,可得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,②由①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn,整理得Sn=(q≠1).(2)我们把上述方法叫错位相减法,一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且q≠1.思考:等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗?[提示] 根据等比数列的定义,有:===…==q,-10-再由合比定理,则得=q,即=q,进而可求Sn.1.等比数列1,x,x2,x3,…(x≠0)的前n项和Sn为(  )A.     B.C.D.C [当x=

3、1时,数列为常数列,又a1=1,所以Sn=n.当x≠1时,q=x,Sn==.]2.等比数列{an}中,a1=1,q=2,则S5=.31 [S5===31.]3.等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为.4 [由S5==44,解得a1=4.]4.某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年的产值增长10%,从今年起5年内,该厂的总产值为.11(1.15-1)a [去年产值为a,从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.所以1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=a·=11(1.15-1)a.]等比

4、数列基本量的运算【例1】 在等比数列{an}中,(1)S2=30,S3=155,求Sn;(2)a1=8,an=,Sn=,求n;(3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.[解] (1)由题意知-10-解得或从而Sn=×5n+1-或Sn=.(2)显然q≠1,由Sn=,即=,∴q=.又an=a1qn-1,即8×=,∴n=6.(3)因为a2an-1=a1an=128,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两根.从而或又Sn==126,所以q为2或.1.在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两

5、个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.2.在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.1.在等比数列{an}中.(1)若a1=,an=16,Sn=11,求n和q;(2)已知S4=1,S8=17,求an.[解] (1)由Sn=得11=,∴q=-2,又由an=a1qn-1得16=(-2)n-1,∴n=5.-10-(2)若q=1,则S8=2S4,不合题意,∴q≠1,∴S4==1,S8==17,两式相除得=17=1+q4,∴q=2或q=-2,∴a1=或a1=-,∴an=·2n-1或-·(-2)n-1.等比数列前n项和

6、公式的实际应用【例2】 借贷10000元,以月利率为1%,每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分6个月付清,试问每月应支付多少元?(1.016≈1.061,1.015≈1.051)思路探究:解决等额还贷问题关键要明白以下两点:(1)所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为S=P(1+r)n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和.(2)从还贷之月起,每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列,首项是什么,公比或公差是多少.[解] 法一:设每个月还贷a元,第1个月后欠款为a0元,以后第n个月

7、还贷a元后,还剩下欠款an元(1≤n≤6),则a0=10000,a1=1.01a0-a,a2=1.01a1-a=1.012a0-(1+1.01)a,…a6=1.01a5-a=…=1.016a0-[1+1.01+…+1.015]a.由题意,可知a6=0,即1.016a0-[1+1.01+…+1.015]a=0,a=.∵1.016≈1.061,∴a=≈1739.故每月应支付1739元.-10-法二:一方面,借款10000元,将此借款以相同的条件存储6个月,则它的本利和为S1=104(1+0.01)6=104×(1.01

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