2020_2021学年高中数学第一章数列3等比数列第2课时等比数列的性质学案北师大版必修5.doc

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1、第2课时　等比数列的性质Q1915年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小到大依次排列起来，可以得到一列数：1,3,9,27,81，……我们知道这是一个等比数列，那么，等比数列中，有什么特殊的性质呢？X1．等比数列的性质：(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m、n∈N＋)．(2)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m，所得数列是等比数列，公比为q.(3)若{an}是等比数列，且m＋n＝p＋q，m、n、p

2、、q∈N＋，则am·an＝ap·aq.(4)若等比数列{an}的公比为q，则{}是以　　为公比的等比数列．(5)一组等比数列{an}中，下标成等差数列的项构成等比数列.(6)若{an}与{bn}均为等比数列，则{anbn}为等比数列.(7)公比为q的等比数列，按m项分组，每m项之和(和不为0)组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为qm.(8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比数列．(9){an}是等比数列，且an>0，则{logaan}(a>0，a≠1)是等差数列．2．等比数列中的设项方法与技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，

3、aq2或　，a，aq　.-8-(2)若四个数成等比数列，可设a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设　，，aq，aq3　.Y1．在等比数列{an}中，若a6＝6，a9＝9，则a3等于(　A　)A．4　　　　　　　　B．C．　D．3[解析]　解法一：∵a6＝a3·q3，∴a3·q3＝6.a9＝a6·q3，∴q3＝＝.∴a3＝＝6×＝4.解法二：由等比数列的性质，得a＝a3·a9，∴36＝9a3，∴a3＝4.2．在等比数列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则a8＋a9等于(　D　)A．90B．30C．70　D．40[解析]　∵q2＝＝2

4、，∴a8＋a9＝(a6＋a7)q2＝20q2＝40.3．如果数列{an}是等比数列，那么(　A　)A．数列{a}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列D．数列{nan}是等比数列[解析]　数列{a}是等比数列，公比为q2，故选A．4．等比数列{an}中，a1＝1，a9＝9，则a5＝3.[解析]　由a＝a1·a9，∴a＝9，∴a5＝±3.而a1、a9均为正值，故a5也为正值，∴a5＝3.5．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a12＝567.[解析]　解法一：可知a4、a6、a8、a10、a12成等比数列．-8-其公比为

5、＝＝3，所以a12＝a4·35－1＝7×34＝567.解法二：设等比数列{an}的公比为q，则＝q2＝3.∴a12＝a4·q8＝7×34＝567.解法三：由得两式相比得q2＝3.∴a12＝a1·q11＝(a1·q5)·q6＝a6·(q2)3＝21×33＝567.H命题方向1　⇨运用等比数列性质解题　　例题1　在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，求a10.[分析]　解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q，再求a10.[解析]　解法一：设公比为q，由题意得，解得，或.∴a10＝a1q9＝×39＝13122或a10＝a1q9＝－×(－3)9＝

6、13122.解法二：∵a6＝a2q4，∴q4＝＝＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13122.解法三：在等比数列中，由a＝a2·a10得a10＝＝＝13122.『规律总结』　比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用．-8-〔跟踪练习1〕(1)若1，a1，a2,4成等差数列；1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值等于(　A　)A．－　B．　C．±　　D．(2)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10·a11＋a9a12＝2e5

7、，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝50.[解析]　(1)∵1，a1，a2,4成等差数列，3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，∴b2＝2，∴＝＝－.(2)因为等比数列{an}中，a10·a11＝a9·a12，所以由a10a11＋a9a12＝2e5，可解得a10·a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1·a2·…·a20)＝ln(a10·a11)10＝10ln(a10·a11)＝10·lne5＝50.命题方向2　⇨对称法设未知项　　例

8、题2　已知四个数前三个成等差，后三个成