2020_2021学年高中数学第一章数列1数列第2课时数列的函数特性学案北师大版必修5.doc

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1、第2课时　数列的函数特性Q古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量，则每日的高度按日期排在一起，可组成一个数列．同样，对“磨刀之石”用精密仪器度量，则每日的质量按日期排在一起，也可组成一个数列，那么数列如何定义呢？“春起之苗”的高度组成的数列与“磨刀之石”的质量组成的数列又有何特征呢？X几种数列的概念(1)数列按照项与项之间的大小关系可分为递增数列，递减数列，摆动数列和常数列．(2)一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an＋1>

2、an，那么这个数列叫作递增数列．(3)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an＋1

3、in，sin，sin，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列．2．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　A　)A．递增数列　　　　　B．递减数列C．摆动数列　D．常数列[解析]　由已知得an＋1－an＝3>0，故{an}为递增数列．3．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是(　B　)A．B．30C．31　D．32[解析]　an＝－n2＋11n＝－2＋，∵n∈N＋，∴当n＝5或6时，an取最大值30

4、，故选B．4．已知数列{}，那么这个数列是(　A　)A．递增数列B．递减数列C．摆动数列　D．常数列[解析]　因为an＋1－an＝－＝>0，所以an＋1>an，故该数列是递增数列．5．已知数列的通项公式为an＝－4n＋10，则数列是递减数列．(填递增或递减)[解析]　∵an＋1－an＝－4(n＋1)＋10－[－4n＋10]＝－4<0.∴an＋1

5、1.[分析]　(1)根据数列的通项公式，代入相应的n值得到所求的项，解关于n的方程得项对应的n值．(2)在直角坐标系下，描出点(n，an)．[解析]　(1)由第n项可知此数列的通项公式为：an＝3(4n＋3)，所以a1＝3×(4×1＋3)＝21，a2＝3×(4×2＋3)＝33，a5＝3×(4×5＋3)＝69.令3(4n＋3)＝153，解得n＝12.故填充完整的表格为：n12…5…12…nan2133…69…153…3(3＋4n)(2)∵an＝3n－1，列表：n1234…an13927…在直角坐标系中图像如下：-9-『规律总结』　(1)列表法

6、不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系．(2)数列an＝3n－1的图像是函数y＝3x－1(x>0)上的无穷多个孤立的点．〔跟踪练习1〕已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，作出该数列的图像．[解析]　分别取n＝1,2,3，…，得到点(1,1)，(2,3)，(3,5)，…，描点作出图像．如图，它的图像是直线y＝2x－1上的一些等间隔的点．命题方向2　⇨数列单调性的判断　　例题2　已知数列{an}的通项公式为an＝.求证：此数列为递增数列．[分析]　作差计算an＋1－an，并判断an＋1－

7、an的符号，从而确定数列{an}的增减性．[证明]　对于任意n∈N＋，由公式an＝，有an＋1－an＝－＝[1－]－(1－)＝－＝＝>0，即an＋1>an(n∈N＋)．故数列{an}是递增数列．『规律总结』　判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，即通过判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的单调性．(1)利用作差比较法①若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列；②若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列；-9-③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．(2

8、)利用作商比较法①若an>0则当>1时，数列{an}是递增数列；当<1时，数列{an}是递减数列；当＝1时，数列{an}是常数列．②若an<0，则当<1时，数列{an}是递增数列