高中数学教案：正切函数的图象和性质.doc

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1、正切函数的图象和性质（一）教材分析：学习正切函数的图象和性质，主要包括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，以及具体的应用。（二）素质教育目标：1.知识目标：（1）用单位圆中的正切线作正切函数的图象；（2）用正切函数图象解决函数有关的性质；2.能力目标：（1）理解并掌握作正切函数图象的方法；（2）理解用函数图象解决有关性质问题的方法；3.德育目标：培养研究探索问题的能力；（三）教学三点解析：1.教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；2.教学难点：性质的研究；3.教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整个定义域内的增函数

2、；（四）教学过程设计1．设置情境前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。2．探索研究由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制图象．　　（1）用正切线作正切函数图象　　分析一下正切函数是否为周期函数？　　　　　　∴是周期函数，是它的一个周期．　　我们还可以证明，是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数，的图象．作法如下：①作直角坐标系，并

3、在直角坐标系轴左侧作单位圆．　　　　　　②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．　　　　　　③描点。（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）．　　　　　　④连线．　图1　　根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）．图2　　（2）正切函数的性质　　请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．　　①定义域：　　②值域：　　③周期性：正切函数是周期函数，周期是．　　④奇偶性：，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点对称

4、．　　⑤单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间内都是增函数．强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数　　　b.正切函数在每个单调区间内都是增函数　　　c.每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三3．例题分析　　【例1】求函数的定义域．　　分析：我们已经知道了的定义域，那么与有什么关系呢？令，我们把说成由和复合而成。此时我们称为复合函数，而把和为简单函数解：令，那么函数的定义域是　　由   ，可得  所以函数的定义域是解题回顾：这种解法可称为换元法，因此复合函数可通过换元法来求得。练习1：求函数的定义域。（学生板演。）　　【

5、例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：（1）与；（2）与．分析：比较两个正切函数值的大小可联想到比较两个正、余弦函数值的大小。比较两个正、余弦函数值的大小是利用函数的单调性来比较。注意点是应把相应的角化到正或余弦函数的同一单调区间内来解决．类比得到比较两个正切函数值的大小的解法　　解：（1）　　　　　又 ∵，在上是增函数　　　　　∴　　　　（2）∵＝　　　　　　　又  ∵0＜＜＜，函数，是增函数，　　　∴ ＜即．解题回顾：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到的同一单调区间内，利用的单调递增性来解决．练习2：比

6、较大小：　（学生口答）（＜）（学生板演）（＞）【例3】求的周期3．总结提炼（1）这节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图象和性质　　（2）正切函数的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得一个周期上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。（3）正切函数的性质．4.布置作业：作业：苏大资料“12.正切函数的图象与性质”.