资源描述：
《第一章 度量空间-黎永锦.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第1章度量空间在1900年巴黎数学家大会上我曾毫不犹豫地把十九世纪称为函数论的世纪.V.Volterra(伏尔泰拉)(1860-1940,意大利数学家)泛函分析这一名称是由法国数学家P.Levy引进的.在十九世纪后期,许多数学家已经认识到数学中许多领域处理的是作用在函数上的变换或者算子,推动创立泛函分析的根本思想是这些算子或变换可以看作某类函数上算子的抽象形式,把这类函数全体看成空间,而每个函数就是空间的点,算子或变换就把点变成点,将函数变成实数或复数的算子就称为泛函.泛函的抽象理论是由V.Volterra(1860-1940)在关于变分法的P.L
2、evy(1886-1971)工作中最先研究的,但在建立函数空间和泛函的抽象理论中,第一个卓越的成果是由法国数学家M.Frechet1906年在他的博士论文中得到的.1.1度量空间M.Frechet是法国数学家,他1906年获得博士学位.M.Frechet的博士论文开创了一般拓扑学,G.Cantor,C.Jordan,G.Peano,E.Borel和其他数学家发展了有限维空间的点集理论.V.Volterra,G.ascoli和J.Hadamard等开始把实值函数作为空间的点来考虑.M.Frechet的博士论文统一了这两种思想,并建立了一个公理结构.他
3、给出收敛序列的极限的一组公理,然后定义了闭集、内点和完备集等基本概念,还引入了相对列紧性和列紧性,并得到了列紧集的基本性质,在他的博士论文中,M.Frechet第一次给出了度量空间的公理.定义1.1.1若是一个非空集合,是满足下列条件的实值函数,对于任意,有(1)当且仅当;(2)(3).则称d为上的度量,称为度量空间.明显地,由（3）可知,故由（2）可知,因此是一个非负函数.若是一个度量空间,是的非空子集,则明显地也是度量空间,称为的度量子空间.例1.1.1若是实数集,定义,则容易看出是度量空间.例1.1.2对于任意一个非空集,只需定义=则是一个度
4、量空间,称为上的平凡度量或离散度量.度量不是唯一的,在一个非空集合上,可以定义几种完全不同的度量.例1.1.3对于,可以定义几种不同的度量,对于,有;;容易验证,和都是度量空间,一般称为欧几里得空间. 以下的例子是在M.Frechet1906年提出的.例1.1.4如果用记所有实数列形成的集合,对于任意,定义容易知道满足度量定义中的（1）和（2）,由函数(x)=在(0,)是单调增加的可知对于,有 令,则可得到,所以是一个度量空间. 常见的序列空间还有如下几个空间.例1.1.5,对于任意的,定义.即为所有有界数列所形成的空间,如,,但. 例1.1.6
5、，对于任意的,定义.即为所有收敛于0的数列所成的空间,如,,但.例1.1.7,对于任意的,定义.即为所有绝对收敛数列所成的空间,如,但. 度量就是中距离的推广,在给定的集合上定义了度量,就可以讨论点列的收敛性.定义1.1.2 设是度量空间,,若,则称序列按度量收敛于,记为,或,此时称为收敛点列,称为的极限.在数学分析中,大家都知道,若数列是收敛的,则其极限是唯一的.类似地,在度量空间也有下面的结论.定理1.1.1 在度量空间中,若是收敛点列,则的极限一定唯一.证明用反证法,假设有,使得,,但,则由,可知.又由于,因此,但这与假设矛盾,所以由反证法原
6、理可知的极限唯一.另外,容易看出,在度量空间中,若是收敛点列,则的任意子列也是收敛点列,并且极限是一样的.定理1.1.2若,,则.即是和的二元连续函数.证明由于因此同样地,有因而所以,.如果考虑如下的问题呢？问题1.1.1若X是线性空间,为度量空间,加法是否连续呢？不一定,下面的例子是D.D.Rothmann[Anearlydiscretemetric.Amer.Math.Monthly81(1974),1018-1019.]作出的.例1.1.8设,对于任意,定义=则容易验证是一度量空间. 其实,只要取,,,,则,.但,因此不收敛于0.所以,虽然
7、,,但是不收敛于.在空间解析几何中,称是中一个以为球心,为半径的球.同样地,球的概念可以推广到一般的度量空间.定义1.1.3若为度量空间,为大于0的实数,则称是以为球心,为半径的开球,记为.而称是以为球心,为半径的闭球.抽象的度量空间与现实的世界有着较大的区别,下面的问题是很有意思的.问题1.1.2在度量空间中,一个半径较小的开球能否真包含一个半径较大的开球？度量空间的开球与真实世界的球有着本质的区别,一个半径为6的开球,可能会真包含在一个半径为4的开球内.例1.1.9设为实数,},在上定义度量,则以=(0,0)为球心4为半径的小球真包含以=(3,
8、0)为球心6为半径的大球.进一步,还可以考虑下面的问题.问题1.1.3对于任意,是否都可找到一个度量空间,存在两球,使得小
