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1、第5章Hilbert空间只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力,而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡.(希尔伯特)(1862-1943,德国数学家)空间在历史上比赋范空间出现得早,是最早提出来的空间,它是1912年在研究积分方程时给出的,而空间的公理化定义直到1927年才由在量子力学的的数学基础这一论文中给出,但它的定义包含了可分性的条件,和在1934年指出,对于绝大部分理论,可分性是不必要的,因此可分性的条件就去掉了. 5.1内积空间在中,把一个点看成一个向量,对于的任意两个点,定义内积,则可把向量的垂直、交角、投影等用内积来刻画,并且内积具有很好的性质. 定义5.1.1设是线
2、性空间,若存在到的一个映射,使得对任意,有（1）；（2）；（3）,且当且仅当时成立.则称内积空间.在上,定义内积为,则明显地,是一个内积空间.中的不等式可以追溯和,积分形式的不等式是在1859年和在1885证明的.中的不等式则是在1908年得到的.抽象的不等式是在1930年证明的.在内积空间中,有下面的不等式成立. 定理5.1.1(不等式)若是内积空间,则对任意,有证明明显地,只须证明时不等式成立.对于任意,有取,则因此. 利用不等式,可以证明任意的内积空间都可以定义范数,使之成为赋范空间.定理5.1.2设是内积空间,,则是的范数.证明由内积的定义可知时,有.由于因此,.对于任意,由不等式
3、,有因而,所以是的范数.由上面定理可知,对于任意内积空间,是的范数,一般称这一范数为内积诱导的范数,在这一范数的意义下,可以把内积空间看成赋范空间,这样的内积空间上可以使用赋范空间的所有概念,如序列的收敛和子集的列紧性、完备性等.定义5.1.2若内积空间在范数下是空间,则称是空间.容易证明,是空间.内积空间还具有许多很好的性质. 定理5.1.3设是内积空间,若,则.证明由于因此时,有.不难证明,对于内积空间,有如下的极化恒等式成立.定理5.1.4设是实内积空间,则对任意,有定理5.1.5设是复内积空间,则对任意,有由于内积空间具有很好的几何直观性,而每一个内积空间都可以引入范数,使之成为赋范
4、空间,因此可以考虑如下问题. 问题5.1.1对于任意赋范空间,可否定义内积使之成为内积空间,且满足?例如,在赋范空间中,对于任意,定义,则是否为的内积,并满足？定理5.1.6设是赋范线性空间,则在可以定义内积,使之成为内积空间,且的充要条件为对任意,有证明若可以定义内积,使之成为内积空间,且,则反过来,若对于任意,有.为了简明起见,这里只证是实赋范空间的情形.令,则（1）；（2）且且当仅当;（3）对于任意,有由于因此,.对于任意,令,则为连续函数,且,因此是线性的,即,因而.由可知,因此是上的内积,且.在上面定理的证明中,当是复赋范空间时,令,则可证明就是上的内积,且满足.由以上定理可知,一
5、般的赋范线性空间不一定可以定义内积,使之成为内积空间,且满足.例5.1.1在中,取,则,但,因此,所以在上不能定义内积,使得成为内积空间,且满足.利用前面定理,还可以证明内积空间一定是严格凸的.定理5.1.8设是内积空间,则一定是严格凸的赋范空间.证明对于任意,若,且,则由可知,因而,所以是严格凸的. 5.2投影定理内积空间是的自然推广,在内积空间上,可以把向量空间的正交和投影等概念引进来.定义5.2.1设是内积空间,,若,则称与正交,记为.若,且对任意,有,则称与正交,记为.若对任意,都有,则称与正交,记为.若,则称为的正交补.例题5.2.1设为[-1,1]上的实连续函数全体,内积为,若为
6、[-1,1]上的实连续奇函数全体,试证明的正交补为[-1,1]上的实连续偶函数全体.证明(1)若为[-1,1]上的实连续偶函数,则对所有都是[-1,1]上的实连续奇函数,从而,因此.(2)反过来，若，令,则,从而为奇函数,因此,所以.由于,因此从而由是连续函数可知,即一定是偶函数.由(1)和(2)可知,的正交补为[-1,1]上的实连续偶函数全体. 明显地,由以上的定义可以看出下面定理成立. 定理5.2.1设为内积空间,,则（1）当时,有；（2）当且时,有对于任意都成立；（3）当时,有,且；（4）当时,有；（5）,对任意成立. 定理5.2.2设是内积空间,,则是的闭线性子空间.证明对于任意
7、,及,有且因此,对任意,有故,即是线性子空间. 若,则对任意,有,因此,所以,是的闭线性子空间.定理5.2.3设是内积空间,,则.证明:对于因此.反过来,对任意,有,由上面定理可知是闭子空间,故,因而,所以,从而. 定义5.2.2设是内积空间,,是的线性子空间,若,则称为与的正交和,记为.如在中,取,则,且.定义5.2.3设是内积空间的线性子空间,,若存在,使得则称为在上的投影.在中,对,及任意
